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数学II｜指数関数・対数関数 教材

要約

指数関数・対数関数を、基本事項と例題で学び、確認問題と50回のドリルで定着させます。

1. 指数の拡張

正の底に対し0、負の整数、有理数、実数の指数へ拡張します。負の指数は逆数、有理数の指数は根号で表します。指数法則が保たれることを使って式をまとめます。

\[ a^0=1,\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\quad(a>0) \]

2. 指数関数

a>1なら増加、0<a<1なら減少します。どちらも値は正です。同じ底へそろえると方程式は指数の比較に直せます。底が1未満の不等式は向きを逆にして比較します。

\[ a>1:\ a^u<a^v\iff u<v,\quad0<a<1:\ a^u<a^v\iff u>v \]

3. 対数の定義と性質

対数は底を何乗すると真数になるかを表します。底は正で1以外、真数は正である必要があります。積・商・累乗の対数は、それぞれ和・差・係数へ直せます。

\[ \log_a M=t\iff a^t=M,\quad\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN,\quad\log_aM=\frac{\log_bM}{\log_ba} \]

4. 対数関数と応用

指数関数の逆関数なので増減は底で決まります。真数条件を先に書いてから、方程式・不等式を解きます。常用対数は桁数や倍率を調べるのに使えます。

\[ \text{正の整数}N\text{の桁数}=\lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \]

5. 例題と解き方

例題1｜指数の拡張

\((64)^{\frac13}\)と\(2^{-2}\)を計算しなさい。

正の底でa^(m/n)はn乗根のm乗、負の指数は逆数です。

\[ \boxed{4,\quad \frac{1}{4}} \]

例題2｜指数法則

\(2^{2}\cdot2^{1}\div2^{1}\)を底2の1つの累乗で表しなさい。

同じ底の積は指数を足し、商は指数を引きます。

\[ \boxed{2^{2}} \]

例題3｜指数方程式

\(2^{2x-2}=2\)を解きなさい。

底2>1の指数関数は単調なので、指数2x−2=1を解きます。

\[ \boxed{x=\frac{3}{2}} \]

例題4｜指数不等式

\((\frac1{2})^{x-2}\ge 2^1\)を解きなさい。

右辺も底1/baseに直すと指数−b。底が0と1の間なので指数を比較すると不等号が逆になります。

\[ \boxed{x\le 1} \]

例題5｜対数の定義

\(\log_{2}4\)を求めなさい。

底を何乗すると真数になるかを答えます。ここではbaseのa乗です。

\[ \boxed{2} \]

例題6｜対数の性質

\(\log_{2}(4)+\log_{2}(2)\)を計算しなさい。

和は積の対数にまとめられます。各項を指数へ読み替えても同じ答えです。

\[ \boxed{3} \]

例題7｜底の変換

\(\log_{4}(4)\)を求めなさい。

底をbaseへ変換するとa/2です。底と真数の対数の比で求めます。

\[ \boxed{1} \]

例題8｜対数方程式と真数条件

\(\log_{2}(x-2)=1\)を解きなさい。

まずx>2。定義からx−2=2となり、得られた値は真数条件を満たします。

\[ \boxed{x=4} \]

例題9｜対数不等式

\(\log_{\frac1{2}}(x-2)>1\)を解きなさい。

真数は正。底が1未満なので、対数の比較を真数の比較へ戻すと不等号が逆になります。

\[ \boxed{2<x<2+\frac{1}{2}} \]

例題10｜指数関数のグラフ

\(y=2^{x-2}+1\)の値域と水平漸近線を求めなさい。

指数部分は常に正で0にはならず、x→−∞で0に近づきます。平行移動を反映します。

\[ \boxed{y>1,\quad y=1} \]

例題11｜対数の和の方程式

\(\log_{2}(x-2)+\log_{2}(x-2)=2\)を解きなさい。

真数条件x>aを確認。2log_base(x−a)=2bで、両辺を2で割って定義に戻します。

\[ \boxed{x=4} \]

例題12｜指数への置換

\(2^{2x}-(6)2^x+8=0\)を解きなさい。

t=base^x>0とすると(t−base^a)(t−base^b)=0。どちらも正なので指数を比較してxへ戻します。重複解は1つにまとめます。

\[ \boxed{x=2,\ 1} \]

例題13｜常用対数の応用

\(N=10^{2}\times10^{1}\)は10進表記で何桁ですか。

N=10^(a+b)。10の整数乗は1の後に指数と同じ数の0が続くので、桁数は指数+1です。

\[ \boxed{4\text{桁}} \]

例題14｜対数関数のグラフ

\(y=\log_{2}(x-2)+1\)の定義域、垂直漸近線、x=3での値を求めなさい。

真数が正になる範囲が定義域です。真数0へ近づく直線が漸近線。真数1の対数は0です。

\[ \boxed{x>2,\quad x=2,\quad y=1} \]

6. よくある間違いと解く順序

底と真数の条件、底が1未満の場合、対数の和を真数の和と誤読しないことを確認します。

条件と求めるものを整理し、使う公式を選び、計算後に元の条件を満たすか確かめます。証明では理由も書きます。

確認問題

例題を隠して解き、途中式と判断の理由を書きましょう。

問題1｜指数の拡張

\((262144)^{\frac13}\)と\(8^{-2}\)を計算しなさい。

問題2｜指数不等式

\((\frac1{6})^{x-2}\ge 6^5\)を解きなさい。

問題3｜底の変換

\(\log_{36}(216)\)を求めなさい。

問題4｜指数関数のグラフ

\(y=6^{x-4}+5\)の値域と水平漸近線を求めなさい。

問題5｜常用対数の応用

\(N=10^{5}\times10^{5}\)は10進表記で何桁ですか。

解答・解説

解答1｜指数の拡張

正の底でa^(m/n)はn乗根のm乗、負の指数は逆数です。

\[ \boxed{64,\quad \frac{1}{64}} \]

解答2｜指数不等式

右辺も底1/baseに直すと指数−b。底が0と1の間なので指数を比較すると不等号が逆になります。

\[ \boxed{x\le -3} \]

解答3｜底の変換

底をbaseへ変換するとa/2です。底と真数の対数の比で求めます。

\[ \boxed{\frac{3}{2}} \]

解答4｜指数関数のグラフ

指数部分は常に正で0にはならず、x→−∞で0に近づきます。平行移動を反映します。

\[ \boxed{y>5,\quad y=5} \]

解答5｜常用対数の応用

N=10^(a+b)。10の整数乗は1の後に指数と同じ数の0が続くので、桁数は指数+1です。

\[ \boxed{11\text{桁}} \]

まとめ

指数関数・対数関数では、条件を整理して計算や証明の方法を選びます。間違えた知識ポイントを本文で復習してから、対応するドリルを解き直しましょう。

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