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数学I｜集合と命題 教材

要約

集合と命題を、基本事項と例題で学び、確認問題と50回のドリルで定着させます。

1. 集合の演算

共通部分は両方に属する要素、和集合は一方以上に属する要素です。補集合は全体集合に属し、元の集合に属さない要素です。補集合を扱う前に全体集合を指定します。

\[ \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B,\quad\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B \]

2. 命題と条件

真偽が決まる文が命題です。条件pからqが導けるとき、pはqの十分条件、qはpの必要条件です。両方向が成立すると必要十分条件です。pを満たす集合がqを満たす集合に含まれると考えると整理できます。

\[ p\Rightarrow q,\quad P\subseteq Q \]

3. 逆・裏・対偶と否定

pならqの逆はqならp、裏はpでないならqでない、対偶はqでないならpでないです。元の命題と対偶の真偽は一致します。『かつ』の否定は『または』へ、『すべて』の否定は『ある』へ変わります。

\[ (p\Rightarrow q)\iff(\neg q\Rightarrow\neg p) \]

4. 証明の選び方

直接証明では仮定から結論を順に導きます。対偶の方が扱いやすいなら対偶を証明し、背理法では結論を否定して矛盾を導きます。全称命題が偽であることは、条件を満たさない反例1つで示せます。

\[ \neg(\forall x\ P(x))\iff\exists x\ \neg P(x) \]

5. 例題と解き方

例題1｜集合の共通部分

A=\(\{1,2,3\}\)、B=\(\{2,3,4,5,6\}\)の共通部分を求めなさい。

AにもBにも含まれる要素だけを列挙します。

\[ \boxed{\{2,3\}} \]

例題2｜集合の和集合

A=\(\{1,2,3\}\)、B=\(\{2,3,4,5,6\}\)の和集合を求めなさい。

少なくとも一方に含まれる要素を、重複させずに列挙します。

\[ \boxed{\{1,2,3,4,5,6\}} \]

例題3｜補集合

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6\}\)、A=\(\{1,2,3\}\)のとき、Aの補集合を求めなさい。

全体集合からAの要素を除きます。全体集合の指定が必要です。

\[ \boxed{\{4,5,6\}} \]

例題4｜ド・モルガンの法則

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6\}\)、A=\(\{1,2,3\}\)、B=\(\{2,3,4,5,6\}\)のとき、\(\overline{A\cap B}\)を求めなさい。

共通部分を先に求め、その補集合を取ります。Aの補集合とBの補集合の和集合に一致します。

\[ \boxed{\{1,4,5,6\}} \]

例題5｜必要条件・十分条件

実数xについて、p：x=2、q：\\(x^2=4\\)。pはqの必要条件、十分条件、必要十分条件のどれですか。

pならqですが、x=−2でもqが成立するため、qからpは導けません。

\[ \boxed{\text{十分条件だが必要条件ではない}} \]

例題6｜逆と対偶

命題「整数nが4の倍数ならばnは2の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

逆は「2の倍数なら4の倍数」で、n=2が反例。対偶は「2の倍数でなければ4の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\[ \boxed{\text{逆は偽、対偶は真}} \]

例題7｜反例

「すべての実数xで\\(x^2\ge 2x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

x=2/2なら左辺は4/4、右辺は4/2。左辺の方が小さくなります。

\[ \boxed{x=\frac{2}2} \]

例題8｜条件の否定

実数xの条件「\(2<x<3\)」の否定を書きなさい。

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\[ \boxed{x\le 2\ \text{または}\ x\ge 3} \]

例題9｜対偶による証明

整数nについて「\(n^2\)が2の倍数でないならnは2の倍数でない」を証明しなさい。

対偶は「nが2の倍数ならn²も2の倍数」。n=2kとするとn²=2(2k²)となります。

\[ \boxed{\text{対偶を証明すればよい}} \]

例題10｜背理法

\(\sqrt2+2\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。

√2+2が有理数と仮定すると、そこから整数2を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。

\[ \boxed{\text{無理数}} \]

例題11｜全称・存在命題

次の命題の真偽を判定：①すべての実数xで\\(x^2+2&gt;0\\)。②ある実数xで\\(x^2+2=0\\)。

実数の平方は0以上で、2>0なのでx²+2は常に正です。

\[ \boxed{\text{①真、②偽}} \]

例題12｜集合と条件の関係

p：\(x>3\)、q：\(x>2\)。pとqの必要・十分関係を、集合の包含を使って説明しなさい。

pを満たす集合(3,∞)はqを満たす集合(2,∞)に含まれます。逆はx=2+1/2が反例です。

\[ \boxed{\text{pはqの十分条件、qはpの必要条件}} \]

6. よくある間違いと解く順序

逆が真とは限りません。反例は元の条件を満たしているか、否定に等号が必要かを確認します。

条件と求めるものを整理し、使う公式を選び、計算後に元の条件を満たすか確かめます。証明では理由も書きます。

確認問題

例題を隠して解き、途中式と判断の理由を書きましょう。

問題1｜集合の共通部分

A=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)、B=\(\{5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\)の共通部分を求めなさい。

問題2｜ド・モルガンの法則

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)、A=\(\{1,2,3\}\)、B=\(\{6,7,8,9,10\}\)のとき、\(\overline{A\cap B}\)を求めなさい。

問題3｜反例

「すべての実数xで\\(x^2\ge 3x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

問題4｜背理法

\(\sqrt2+4\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。

問題5｜集合の共通部分

A=\(\{1,2,3,4,5,6\}\)、B=\(\{6,7,8,9,10,11,12,13\}\)の共通部分を求めなさい。

解答・解説

解答1｜集合の共通部分

AにもBにも含まれる要素だけを列挙します。

\[ \boxed{\{5,6,7,8,9\}} \]

解答2｜ド・モルガンの法則

共通部分を先に求め、その補集合を取ります。Aの補集合とBの補集合の和集合に一致します。

\[ \boxed{\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}} \]

解答3｜反例

x=3/2なら左辺は9/4、右辺は9/2。左辺の方が小さくなります。

\[ \boxed{x=\frac{3}2} \]

解答4｜背理法

√2+4が有理数と仮定すると、そこから整数4を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。

\[ \boxed{\text{無理数}} \]

解答5｜集合の共通部分

AにもBにも含まれる要素だけを列挙します。

\[ \boxed{\{6\}} \]

まとめ

集合と命題では、条件を整理して計算や証明の方法を選びます。間違えた知識ポイントを本文で復習してから、対応するドリルを解き直しましょう。

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