数学I｜集合と命題ドリル第41回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)、A=\(\{1,2,3\}\)のとき、Aの補集合を求めなさい。

実数xについて、p：x=8、q：\\(x^2=64\\)。pはqの必要条件、十分条件、必要十分条件のどれですか。

「すべての実数xで\\(x^2\ge 7x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

整数nについて「\(n^2\)が7の倍数でないならnは7の倍数でない」を証明しなさい。

次の命題の真偽を判定：①すべての実数xで\\(x^2+7>0\\)。②ある実数xで\\(x^2+7=0\\)。

解答・解説

全体集合からAの要素を除きます。全体集合の指定が必要です。

\boxed{\{4,5,6,7,8,9\}}

pならqですが、x=−8でもqが成立するため、qからpは導けません。

\boxed{\text{十分条件だが必要条件ではない}}

x=7/2なら左辺は49/4、右辺は49/2。左辺の方が小さくなります。

\boxed{x=\frac{7}2}

対偶は「nが7の倍数ならn²も7の倍数」。n=7kとするとn²=7(7k²)となります。

\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}

実数の平方は0以上で、7>0なのでx²+7は常に正です。

\boxed{\text{①真、②偽}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____