数学I｜集合と命題ドリル第24回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

命題「整数nが16の倍数ならばnは8の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

「すべての実数xで\\(x^2\ge 7x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

実数xの条件「\(7<x<8\)」の否定を書きなさい。

整数nについて「\(n^2\)が7の倍数でないならnは7の倍数でない」を証明しなさい。

\(\sqrt2+7\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。

解答・解説

逆は「8の倍数なら16の倍数」で、n=8が反例。対偶は「8の倍数でなければ16の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\boxed{\text{逆は偽、対偶は真}}

x=7/2なら左辺は49/4、右辺は49/2。左辺の方が小さくなります。

\boxed{x=\frac{7}2}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 7\ \text{または}\ x\ge 8}

対偶は「nが7の倍数ならn²も7の倍数」。n=7kとするとn²=7(7k²)となります。

\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}

√2+7が有理数と仮定すると、そこから整数7を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。

\boxed{\text{無理数}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____