数学I｜集合と命題ドリル第26回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)、A=\(\{1,2,3\}\)、B=\(\{4,5,6,7,8\}\)のとき、\(\overline{A\cap B}\)を求めなさい。

実数xについて、p：x=2、q：\\(x^2=4\\)。pはqの必要条件、十分条件、必要十分条件のどれですか。

命題「整数nが4の倍数ならばnは2の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

「すべての実数xで\\(x^2\ge 8x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

実数xの条件「\(8<x<9\)」の否定を書きなさい。

解答・解説

共通部分を先に求め、その補集合を取ります。Aの補集合とBの補集合の和集合に一致します。

\boxed{\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}

pならqですが、x=−2でもqが成立するため、qからpは導けません。

\boxed{\text{十分条件だが必要条件ではない}}

逆は「2の倍数なら4の倍数」で、n=2が反例。対偶は「2の倍数でなければ4の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\boxed{\text{逆は偽、対偶は真}}

x=8/2なら左辺は64/4、右辺は64/2。左辺の方が小さくなります。

\boxed{x=\frac{8}2}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 8\ \text{または}\ x\ge 9}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____