数学I｜集合と命題ドリル第38回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

p：\(x>7\)、q：\(x>5\)。pとqの必要・十分関係を、集合の包含を使って説明しなさい。

A=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)、B=\(\{4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\}\)の和集合を求めなさい。

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\)、A=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)、B=\(\{4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\)のとき、\(\overline{A\cap B}\)を求めなさい。

命題「整数nが14の倍数ならばnは7の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

実数xの条件「\(6<x<8\)」の否定を書きなさい。

解答・解説

pを満たす集合(7,∞)はqを満たす集合(5,∞)に含まれます。逆はx=5+2/2が反例です。

\boxed{\text{pはqの十分条件、qはpの必要条件}}

少なくとも一方に含まれる要素を、重複させずに列挙します。

\boxed{\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\}}

共通部分を先に求め、その補集合を取ります。Aの補集合とBの補集合の和集合に一致します。

\boxed{\{1,2,3,9,10,11,12,13\}}

逆は「7の倍数なら14の倍数」で、n=7が反例。対偶は「7の倍数でなければ14の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\boxed{\text{逆は偽、対偶は真}}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 6\ \text{または}\ x\ge 8}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____