数学I｜集合と命題ドリル第50回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

p：\(x>6\)、q：\(x>3\)。pとqの必要・十分関係を、集合の包含を使って説明しなさい。

A=\(\{1,2,3,4,5,6,7\}\)、B=\(\{5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\)の和集合を求めなさい。

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)、A=\(\{1,2,3,4,5,6\}\)、B=\(\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\)のとき、\(\overline{A\cap B}\)を求めなさい。

命題「整数nが10の倍数ならばnは5の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

実数xの条件「\(4<x<7\)」の否定を書きなさい。

解答・解説

pを満たす集合(6,∞)はqを満たす集合(3,∞)に含まれます。逆はx=3+3/2が反例です。

\boxed{\text{pはqの十分条件、qはpの必要条件}}

少なくとも一方に含まれる要素を、重複させずに列挙します。

\boxed{\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}}

共通部分を先に求め、その補集合を取ります。Aの補集合とBの補集合の和集合に一致します。

\boxed{\{1,2,3,4,7,8,9,10,11,12\}}

逆は「5の倍数なら10の倍数」で、n=5が反例。対偶は「5の倍数でなければ10の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\boxed{\text{逆は偽、対偶は真}}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 4\ \text{または}\ x\ge 7}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____