数学I｜集合と命題ドリル第19回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

実数xについて、p：x=6、q：\\(x^2=36\\)。pはqの必要条件、十分条件、必要十分条件のどれですか。

命題「整数nが12の倍数ならばnは6の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

「すべての実数xで\\(x^2\ge 5x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

実数xの条件「\(5<x<6\)」の否定を書きなさい。

整数nについて「\(n^2\)が5の倍数でないならnは5の倍数でない」を証明しなさい。

解答・解説

pならqですが、x=−6でもqが成立するため、qからpは導けません。

\boxed{\text{十分条件だが必要条件ではない}}

逆は「6の倍数なら12の倍数」で、n=6が反例。対偶は「6の倍数でなければ12の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\boxed{\text{逆は偽、対偶は真}}

x=5/2なら左辺は25/4、右辺は25/2。左辺の方が小さくなります。

\boxed{x=\frac{5}2}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 5\ \text{または}\ x\ge 6}

対偶は「nが5の倍数ならn²も5の倍数」。n=5kとするとn²=5(5k²)となります。

\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____