数学I｜集合と命題ドリル第15回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

整数nについて「\(n^2\)が3の倍数でないならnは3の倍数でない」を証明しなさい。

\(\sqrt2+3\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。

次の命題の真偽を判定：①すべての実数xで\\(x^2+3>0\\)。②ある実数xで\\(x^2+3=0\\)。

p：\(x>4\)、q：\(x>3\)。pとqの必要・十分関係を、集合の包含を使って説明しなさい。

A=\(\{1,2,3,4,5,6,7\}\)、B=\(\{3,4,5,6,7,8,9,10,11\}\)の共通部分を求めなさい。

解答・解説

対偶は「nが3の倍数ならn²も3の倍数」。n=3kとするとn²=3(3k²)となります。

\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}

√2+3が有理数と仮定すると、そこから整数3を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。

\boxed{\text{無理数}}

実数の平方は0以上で、3>0なのでx²+3は常に正です。

\boxed{\text{①真、②偽}}

pを満たす集合(4,∞)はqを満たす集合(3,∞)に含まれます。逆はx=3+1/2が反例です。

\boxed{\text{pはqの十分条件、qはpの必要条件}}

AにもBにも含まれる要素だけを列挙します。

\boxed{\{3,4,5,6,7\}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____