数学I｜集合と命題ドリル第17回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

「すべての実数xで\\(x^2\ge 4x\\)」が偽であることを反例で示しなさい。

実数xの条件「\(4<x<5\)」の否定を書きなさい。

整数nについて「\(n^2\)が4の倍数でないならnは4の倍数でない」を証明しなさい。

\(\sqrt2+4\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。

次の命題の真偽を判定：①すべての実数xで\\(x^2+4>0\\)。②ある実数xで\\(x^2+4=0\\)。

解答・解説

x=4/2なら左辺は16/4、右辺は16/2。左辺の方が小さくなります。

\boxed{x=\frac{4}2}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 4\ \text{または}\ x\ge 5}

対偶は「nが4の倍数ならn²も4の倍数」。n=4kとするとn²=4(4k²)となります。

\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}

√2+4が有理数と仮定すると、そこから整数4を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。

\boxed{\text{無理数}}

実数の平方は0以上で、4>0なのでx²+4は常に正です。

\boxed{\text{①真、②偽}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____