数学I｜集合と命題 ドリル第22回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜条件の否定
実数xの条件「\(6<x<7\)」の否定を書きなさい。
問題2｜対偶による証明
整数nについて「\(n^2\)が6の倍数でないならnは6の倍数でない」を証明しなさい。
問題3｜背理法
\(\sqrt2+6\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。
問題4｜全称・存在命題
次の命題の真偽を判定：①すべての実数xで\\(x^2+6>0\\)。②ある実数xで\\(x^2+6=0\\)。
問題5｜集合と条件の関係
p：\(x>7\)、q：\(x>6\)。pとqの必要・十分関係を、集合の包含を使って説明しなさい。
解答・解説
解答1｜条件の否定
『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。
\[
\boxed{x\le 6\ \text{または}\ x\ge 7}
\]
解答2｜対偶による証明
対偶は「nが6の倍数ならn²も6の倍数」。n=6kとするとn²=6(6k²)となります。
\[
\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}
\]
解答3｜背理法
√2+6が有理数と仮定すると、そこから整数6を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。
\[
\boxed{\text{無理数}}
\]
解答4｜全称・存在命題
実数の平方は0以上で、6>0なのでx²+6は常に正です。
\[
\boxed{\text{①真、②偽}}
\]
解答5｜集合と条件の関係
pを満たす集合(7,∞)はqを満たす集合(6,∞)に含まれます。逆はx=6+1/2が反例です。
\[
\boxed{\text{pはqの十分条件、qはpの必要条件}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____