数学I｜集合と命題ドリル第35回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

整数nについて「\(n^2\)が4の倍数でないならnは4の倍数でない」を証明しなさい。

次の命題の真偽を判定：①すべての実数xで\\(x^2+4>0\\)。②ある実数xで\\(x^2+4=0\\)。

A=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)、B=\(\{4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14\}\)の共通部分を求めなさい。

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\)、A=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)のとき、Aの補集合を求めなさい。

実数xについて、p：x=6、q：\\(x^2=36\\)。pはqの必要条件、十分条件、必要十分条件のどれですか。

解答・解説

対偶は「nが4の倍数ならn²も4の倍数」。n=4kとするとn²=4(4k²)となります。

\boxed{\text{対偶を証明すればよい}}

実数の平方は0以上で、4>0なのでx²+4は常に正です。

\boxed{\text{①真、②偽}}

AにもBにも含まれる要素だけを列挙します。

\boxed{\{4,5,6,7,8,9\}}

全体集合からAの要素を除きます。全体集合の指定が必要です。

\boxed{\{9,10,11,12,13\}}

pならqですが、x=−6でもqが成立するため、qからpは導けません。

\boxed{\text{十分条件だが必要条件ではない}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____