数学I｜集合と命題ドリル第46回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

全体集合U=\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)、A=\(\{1,2,3,4\}\)、B=\(\{5,6,7,8,9,10\}\)のとき、\(\overline{A\cap B}\)を求めなさい。

命題「整数nが6の倍数ならばnは3の倍数」の逆と対偶を書き、真偽を判定しなさい。

実数xの条件「\(2<x<5\)」の否定を書きなさい。

\(\sqrt2+2\)が無理数であることを、√2が無理数であることを使って証明しなさい。

p：\(x>5\)、q：\(x>2\)。pとqの必要・十分関係を、集合の包含を使って説明しなさい。

解答・解説

共通部分を先に求め、その補集合を取ります。Aの補集合とBの補集合の和集合に一致します。

\boxed{\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}}

逆は「3の倍数なら6の倍数」で、n=3が反例。対偶は「3の倍数でなければ6の倍数ではない」。元の命題が真なので対偶も真です。

\boxed{\text{逆は偽、対偶は真}}

『かつ』の否定は『または』です。端点も否定の範囲に含まれます。

\boxed{x\le 2\ \text{または}\ x\ge 5}

√2+2が有理数と仮定すると、そこから整数2を引いた√2も有理数となり、既知の事実と矛盾します。

\boxed{\text{無理数}}

pを満たす集合(5,∞)はqを満たす集合(2,∞)に含まれます。逆はx=2+3/2が反例です。

\boxed{\text{pはqの十分条件、qはpの必要条件}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____