数学II｜図形と方程式教材

要約

図形と方程式を、基本事項と例題で学び、確認問題と50回のドリルで定着させます。

推奨学年：高校2年生
前提知識：座標、1次・2次方程式、三平方の定理
学習時間：本文は数回に分けて読み、ドリルは1回20分を目安にします。
全20単元の一覧
関連ドリル：
第01回
第02回
第03回
第04回
第05回
第06回
第07回
第08回
第09回
第10回
第11回
第12回
第13回
第14回
第15回
第16回
第17回
第18回
第19回
第20回
第21回
第22回
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第40回
第41回
第42回
第43回
第44回
第45回
第46回
第47回
第48回
第49回
第50回

1. 点の座標と分点

距離は座標差の平方和の平方根です。内分点は両端の重み付き平均、外分点は差を使います。内分比と座標の係数の対応を確認します。

AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\quad P=\frac{nA+mB}{m+n}\quad(AP:PB=m:n)

2. 直線

点と傾き、2点、法線など、与えられた条件に合う形で表します。垂直条件は傾きの積−1ですが、鉛直な直線は別に扱います。点と直線の距離も方程式から求められます。

y-y_0=m(x-x_0),\quad d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

3. 円と接線

円は中心から一定距離の点の集合です。一般形を平方完成して中心と半径を読みます。接線は半径に垂直、直線との共有点は連立で調べます。

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,\quad x_1x+y_1y=r^2\text{（原点中心の円の接線）}

4. 軌跡と領域

条件を満たす点を(x,y)と置いて式へ直します。得られた図形上の点が元の条件を満たす逆の確認も必要です。不等式は領域を表し、等号の有無で境界を含むかが決まります。

PA=PB\Longleftrightarrow P\text{は}AB\text{の垂直二等分線上}

5. 例題と解き方

例題1｜2点間の距離

A=(2,1)、B=(3,3)の距離を求めなさい。

座標差c,2cの平方和の平方根を取ります。

\boxed{1\sqrt5}

例題2｜内分点・外分点

A=(0,0)、B=(3,0)。ABを2:1に内分する点Pを求めなさい。

AP:PB=a:bなので、PはAから全長のa/(a+b)だけ進んだ点です。

\boxed{P=(2,0)}

例題3｜外分点

A=(0,1)、B=(2,1)を2:1に外分する点Pの座標を求めなさい。

外分の式(2B−A)/(2−1)を使います。PはB側の延長上です。

\boxed{P=(4,1)}

例題4｜直線の方程式

点(2,1)を通り傾き1の直線の方程式を求めなさい。

点傾き形式y−y₀=m(x−x₀)に代入します。

\boxed{y=1(x-2)+1}

例題5｜垂直な直線

直線\(y=2x+1\)に垂直で、点(0,1)を通る直線を求めなさい。

垂直な2直線の傾きの積は−1。切片は通過点からcです。

\boxed{y=-\frac1{2}x+1}

例題6｜点と直線の距離

点(0,0)と直線\(2x+1y=1\)の距離を求めなさい。

|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)を使い、分母を有理化します。

\boxed{\frac{\sqrt{5}}{5}}

例題7｜円の方程式

中心(2,1)、半径2の円の方程式を求めなさい。

中心からの距離が半径に等しいという定義を平方にします。

\boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=4}

例題8｜円の標準形

\\(x^2+y^2-4x-2y+4=0\\)の中心と半径を求めなさい。

xとyをそれぞれ平方完成すると(x−a)²+(y−b)²=c²です。

\boxed{\text{中心}(2,1),\quad r=1}

例題9｜円の接線

円\\(x^2+y^2=5\\)上の点(2,1)における接線を求めなさい。

接線は半径OPに垂直です。円x²+y²=r²の点(x₁,y₁)での接線はx₁x+y₁y=r²です。

\boxed{2x+1y=5}

例題10｜軌跡：等距離

点P(x,y)がA=(2,1)、B=(4,1)から等距離にあります。Pの軌跡を求めなさい。

PA²=PB²を展開するとyの項が消えます。軌跡はABの垂直二等分線で、直線上の全点が条件を満たします。

\boxed{x=3}

例題11｜不等式の表す領域

\((x-2)^2+(y-1)^2<1\)の領域と境界を含むかを説明しなさい。

中心からの距離がcより小さい点を表します。等号がないので境界の円周を含みません。

\boxed{\text{中心}(2,1)\text{、半径}1\text{の円の内部。円周は含まない}}

例題12｜領域での最大値

\(x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le 2\)で\(1x+2y\)の最大値とその点を求めなさい。

領域は三角形。3頂点(0,0),(a,0),(0,a)での値を比較すると、yの係数が大きいので(0,a)が最大です。

\boxed{4,\quad (0,2)}

例題13｜円と直線の共有点

円\\(x^2+y^2=5\\)と直線\(x=2\)の共有点を求めなさい。

x=aを円の式に代入するとy²=b²です。どちらの点も両方の式を満たします。

\boxed{(2,1),\quad(2,-1)}

6. よくある間違いと解く順序

分点の係数、半径と半径の平方、境界、軌跡の必要条件だけで終えないことを確認します。

条件と求めるものを整理し、使う公式を選び、計算後に元の条件を満たすか確かめます。証明では理由も書きます。

確認問題

例題を隠して解き、途中式と判断の理由を書きましょう。

問題1｜2点間の距離

A=(8,4)、B=(9,6)の距離を求めなさい。

問題2｜直線の方程式

点(2,5)を通り傾き1の直線の方程式を求めなさい。

問題3｜円の方程式

中心(3,5)、半径2の円の方程式を求めなさい。

問題4｜軌跡：等距離

点P(x,y)がA=(4,5)、B=(6,5)から等距離にあります。Pの軌跡を求めなさい。

問題5｜円と直線の共有点

円\\(x^2+y^2=50\\)と直線\(x=5\)の共有点を求めなさい。

解答・解説

解答1｜2点間の距離