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数学I｜2次関数 教材

要約

2次関数を、基本事項と例題で学び、確認問題と50回のドリルで定着させます。

1. グラフと頂点

平方完成により頂点と軸が読み取れます。係数aが正なら上に、負なら下に開きます。平行移動では横方向の移動と式の中の符号が逆に対応します。

\[ y=ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q,\quad p=-\frac b{2a}\quad(a\ne0) \]

2. 最大・最小

定義域が全実数なら頂点で片方の極値が決まります。閉区間では頂点が区間内にあるかを調べ、頂点と両端の値を比較します。動く頂点の場合は区間の左・内・右で場合分けします。

\[ a>0\Longrightarrow a(x-p)^2+q\ge q \]

3. 2次方程式と判別式

方程式はグラフとx軸の交点を求める計算です。因数分解または解の公式で解き、判別式は異なる2実根・重解・実根なしを区別します。

\[ D=b^2-4ac,\quad x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

4. 2次不等式と応用

零点を境にグラフがx軸の上か下かを判断します。『すべての実数で正』は最小値が正である条件です。文章題は文字の範囲を決めてから2次関数を作ります。

\[ a>0,\ \alpha<\beta\Longrightarrow a(x-\alpha)(x-\beta)\le0\iff\alpha\le x\le\beta \]

5. 例題と解き方

例題1｜平方完成と頂点

\\(y=x^2-4x+3\\)の頂点と軸を求めなさい。

y=(x−2)²−1と平方完成します。

\[ \boxed{\text{頂点}(2,-1),\quad x=2} \]

例題2｜グラフの平行移動

\\(y=x^2\\)をx方向に2、y方向に−1移動したグラフの式を求めなさい。

右へ動かすと式中のxをx−aに置き換え、下へ動かすとbを引きます。

\[ \boxed{y=(x-2)^2-1} \]

例題3｜全実数での最小値

\(y=1(x-2)^2-1\)の最小値と、そのときのxを求めなさい。

平方は0以上で、係数も正です。頂点で最小になります。

\[ \boxed{\text{最小値}-1,\quad x=2} \]

例題4｜区間上の最大・最小

\(y=(x-2)^2+1\)を\(1\le x\le 3\)で考え、最大値・最小値を求めなさい。

頂点x=2は区間内。端点の値は2と2なので、大きい方が最大値です。

\[ \boxed{\text{最小値}1,\quad\text{最大値}2} \]

例題5｜2次方程式

\\(x^2-3x+2=0\\)を解きなさい。

(x−2)(x−1)=0と因数分解します。2つの因数が同じ場合は重解です。

\[ \boxed{x=2,\ 1} \]

例題6｜判別式

\\(x^2-4x+s=0\\)が異なる2つの実数解をもつsの範囲を求めなさい。

判別式D=16−4sが正となる条件です。D=0では重解になります。

\[ \boxed{s<4} \]

例題7｜2次不等式

\((x-2)(x-3)\le0\)を解きなさい。

上に開く放物線なので、2つの零点の間で0以下です。等号を含むので端点を含めます。

\[ \boxed{2\le x\le 3} \]

例題8｜常に正となる条件

\\(x^2-4x+s&gt;0\\)がすべての実数xで成り立つsの範囲を求めなさい。

(x−2)²+s−4の最小値s−4が正であることが必要十分です。

\[ \boxed{s>4} \]

例題9｜2次関数の決定

頂点が(2,1)で、点(3,2)を通る2次関数を求めなさい。

頂点の形y=A(x−a)²+bに通過点を代入するとA=cです。

\[ \boxed{y=1(x-2)^2+1} \]

例題10｜区間とパラメータ

\(y=(x-s)^2+1\)の\(0\le x\le 2\)における最小値を、sで場合分けしなさい。

頂点が左・区間内・右の3つに分けます。頂点が外なら、頂点に近い端点で最小です。

\[ \boxed{s<0:s^2+1,\quad0\le s\le 2:1,\quad s>2:(s-2)^2+1} \]

例題11｜グラフと直線の共有点

放物線\\(y=x^2\\)と直線\(y=4x+s\)が接するsと接点を求めなさい。

共有点の方程式x²−2ax−s=0の判別式を0にします。重解x=aをy=x²へ戻します。

\[ \boxed{s=-4,\quad(2,4)} \]

例題12｜文章題と最大値

周の長さが12cmの長方形の面積を最大にする縦・横の長さと面積を求めなさい。

縦x、横6−x（0<x<6）とすると面積は−(x−3)²+9。平方を0にすると最大です。

\[ \boxed{3\text{cm},\ 3\text{cm},\quad9\text{cm}^2} \]

6. よくある間違いと解く順序

端点、判別式の等号、定義域と頂点の位置を確認します。面積や長さを表す文字には範囲が必要です。

条件と求めるものを整理し、使う公式を選び、計算後に元の条件を満たすか確かめます。証明では理由も書きます。

確認問題

例題を隠して解き、途中式と判断の理由を書きましょう。

問題1｜平方完成と頂点

\\(y=x^2-16x+60\\)の頂点と軸を求めなさい。

問題2｜区間上の最大・最小

\(y=(x-2)^2+1\)を\(-3\le x\le 3\)で考え、最大値・最小値を求めなさい。

問題3｜2次不等式

\((x-3)(x-8)\le0\)を解きなさい。

問題4｜区間とパラメータ

\(y=(x-s)^2+5\)の\(0\le x\le 4\)における最小値を、sで場合分けしなさい。

問題5｜平方完成と頂点

\\(y=x^2-10x+20\\)の頂点と軸を求めなさい。

解答・解説

解答1｜平方完成と頂点

y=(x−8)²−4と平方完成します。

\[ \boxed{\text{頂点}(8,-4),\quad x=8} \]

解答2｜区間上の最大・最小

頂点x=2は区間内。端点の値は26と2なので、大きい方が最大値です。

\[ \boxed{\text{最小値}1,\quad\text{最大値}26} \]

解答3｜2次不等式

上に開く放物線なので、2つの零点の間で0以下です。等号を含むので端点を含めます。

\[ \boxed{3\le x\le 8} \]

解答4｜区間とパラメータ

頂点が左・区間内・右の3つに分けます。頂点が外なら、頂点に近い端点で最小です。

\[ \boxed{s<0:s^2+5,\quad0\le s\le 4:5,\quad s>4:(s-4)^2+5} \]

解答5｜平方完成と頂点

y=(x−5)²−5と平方完成します。

\[ \boxed{\text{頂点}(5,-5),\quad x=5} \]

まとめ

2次関数では、条件を整理して計算や証明の方法を選びます。間違えた知識ポイントを本文で復習してから、対応するドリルを解き直しましょう。

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