数学I｜文字係数の二次関数の最大・最小

問題1｜定義域全体での最小値

関数 \$y=x^2-2ax+a^2+3\$ の、実数全体での最小値と、そのときの $x$ を求めなさい。

関数 \$y=x^2-4x+1\$ を $0\le x\le3$ で考える。最大値と最小値を求めなさい。

関数 \$y=x^2-2ax\$ を $-1\le x\le1$ で考える。最大値を $a$ の値で場合分けして求めなさい。

関数 \$y=x^2-2ax+2a\$ を $0\le x\le2$ で考える。最小値を $a$ の値で場合分けして求めなさい。

関数 \$y=-x^2+2ax+1\$ を $0\le x\le2$ で考える。最大値を $a$ の値で場合分けして求めなさい。

解答・解説

平方完成すると、$y=(x-a)^2+3$ です。平方は0以上なので、

\boxed{\text{最小値 }3\quad (x=a)}

平方完成すると $y=(x-2)^2-3$ です。頂点 $x=2$ は区間内にあり、最小値は $-3$。端点では $y(0)=1, y(3)=-2$ なので最大値は1です。

\boxed{\text{最大値 }1\ (x=0),\quad \text{最小値 }-3\ (x=2)}

上に開く放物線なので、最大値は端点のどちらかです。

y(-1)=1+2a,\qquad y(1)=1-2a

差を比べると $y(-1)-y(1)=4a$ です。したがって、

\boxed{a>0\text{ のとき最大値 }1+2a,\quad a<0\text{ のとき最大値 }1-2a,\quad a=0\text{ のとき最大値 }1}

平方完成すると $y=(x-a)^2+2a-a^2$ で、頂点の $x$ 座標は $a$ です。

$a\le0$：頂点は区間の左側にあり、区間では増加するので $x=0$ で最小。
$0\le a\le2$：頂点が区間内にある。
$a\ge2$：頂点は区間の右側にあり、区間では減少するので $x=2$ で最小。
端の値は $y(0)=2a, y(2)=4-2a$ です。
$\boxed{\text{最小値 }\begin{cases}2a&(a\le0)\\2a-a^2&(0\le a\le2)\\4-2a&(a\ge2)\end{cases}}$

平方完成すると $y=-(x-a)^2+a^2+1$ です。頂点 $x=a$ が区間内ならそこで最大になります。区間外では近い端点で最大です。

$a\le0$：$x=0$ で最大値1。
$0\le a\le2$：$x=a$ で最大値 \$a^2+1\$。
$a\ge2$：$x=2$ で最大値 $-3+4a$。
$\boxed{\text{最大値 }\begin{cases}1&(a\le0)\\a^2+1&(0\le a\le2)\\4a-3&(a\ge2)\end{cases}}$