数学I｜二次関数の最大値・3つの場合分け
問題1
\\(y=-x^2+2ax\\)、\(0\le x\le2\)
問題2
\(y=-(x-b)^2+4\)、\(-1\le x\le3\)
問題3
\\(y=-2x^2+8cx+1\\)、\(0\le x\le4\)
問題4
\(y=-(x+ d)^2+2\)、\(1\le x\le5\)
問題5
\(y=-3(x-e)^2+6\)、\(-2\le x\le1\)
解答・解説
解答1
頂点の \(x\) 座標は \(a\) です。\(a\le0\) なら \(x=0\)、\(0\le a\le2\) なら頂点、\(a\ge2\) なら \(x=2\) で最大になります。
\[
\boxed{\text{最大値 }\begin{cases}0&(a\le0)\\a^2&(0\le a\le2)\\4a-4&(a\ge2)\end{cases}}
\]
解答2
頂点は \(x=b\) で、その値は4です。頂点が区間の外なら近い端点を使います。
\[
\boxed{\text{最大値 }\begin{cases}-(b+1)^2+4&(b\le-1)\\4&(-1\le b\le3)\\-(b-3)^2+4&(b\ge3)\end{cases}}
\]
解答3
平方完成すると \(y=-2(x-2c)^2+8c^2+1\)。頂点の \(x\) 座標は (2c) です。端点の値は \(y(0)=1, y(4)=-31+32c\)。
\[
\boxed{\text{最大値 }\begin{cases}1&(c\le0)\\8c^2+1&(0\le c\le2)\\-31+32c&(c\ge2)\end{cases}}
\]
解答4
頂点は \(x=-d\)、値は2です。区間は \(1\le x\le5\) なので、\(-d\le1\) は \(d\ge-1\)、\(-d\ge5\) は \(d\le-5\) です。
\[
\boxed{\text{最大値 }\begin{cases}-(1+d)^2+2&(d\ge-1)\\2&(-5\le d\le-1)\\-(5+d)^2+2&(d\le-5)\end{cases}}
\]
解答5
頂点は \(x=e\)、値は6です。区間 \([-2,1]\) の外に頂点があるときは、最も近い端点で最大になります。
\[
\boxed{\text{最大値 }\begin{cases}-3(-2-e)^2+6&(e\le-2)\\6&(-2\le e\le1)\\-3(1-e)^2+6&(e\ge1)\end{cases}}
\]