数学I｜二次関数の最大値・2つの場合分け

問題1

\\(y=x^2-2ax\\)、\(-1\le x\le1\)

\\(y=x^2+4bx\\)、\(0\le x\le2\)

\\(y=2x^2-2cx+1\\)、\(1\le x\le3\)

\\(y=x^2+2dx+3\\)、\(-2\le x\le0\)

\\(y=3x^2+2ex-1\\)、\(-1\le x\le2\)

解答・解説

端点の値は \(y(-1)=1+2a, y(1)=1-2a\)。その差は \(4a\) です。

\boxed{a\ge0:\ 1+2a\ (x=-1),\qquad a\le0:\ 1-2a\ (x=1)}

\(a=0\) ではどちらも最大値1です。

端点では \(y(0)=0, y(2)=4+8b\)。

\boxed{b\ge-\frac12:\ 4+8b\ (x=2),\qquad b\le-\frac12:\ 0\ (x=0)}

端点の値は \(y(1)=4-2c, y(3)=19-6c\)。差 \(y(3)-y(1)=15-4c\) を比べます。

\boxed{c\le\frac{15}{4}:\ 19-6c\ (x=3),\qquad c\ge\frac{15}{4}:\ 4-2c\ (x=1)}

端点では \(y(-2)=7-4d, y(0)=3\) です。差 \(y(-2)-y(0)=4-4d\) より、

\boxed{d\le1:\ 7-4d\ (x=-2),\qquad d\ge1:\ 3\ (x=0)}

端点では \(y(-1)=2-2e, y(2)=11+4e\)。差 \(y(2)-y(-1)=9+6e\) から、

\boxed{e\ge-\frac32:\ 11+4e\ (x=2),\qquad e\le-\frac32:\ 2-2e\ (x=-1)}