J 受験ヒーロー

数学B｜数列 教材

要約

数列を、基本事項と例題で学び、確認問題と50回のドリルで定着させます。

1. 等差・等比数列

同じ差で増える数列が等差、同じ比で変わる数列が等比です。一般項では初項からn−1回変化します。和の公式では項数、初項、公差や公比をそろえます。

\[ a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)d),\quad a_n=a_1r^{n-1},\quad S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}\ (r\ne1) \]

2. いろいろな数列

階差が分かると初項に差の和を足して一般項を求められます。群数列では前群までの総項数を調べます。シグマは和の範囲を表し、部分分数へ分けると打ち消し合う和もあります。

\[ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k),\quad\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \]

3. 漸化式

隣の項の関係と初期条件から数列を決めます。a_{n+1}=ra_n+sなら、r≠1のとき固定点L=s/(1−r)を引くと等比数列になります。2階の線形漸化式は特性方程式の根を使う方法もあります。

\[ a_{n+1}=ra_n+s,\quad L=\frac{s}{1-r}\Longrightarrow a_n-L=(a_1-L)r^{n-1} \]

4. 数学的帰納法

最初のnで成立することと、n=kで成立ならn=k+1でも成立することを示します。仮定をどこで使うかを明示します。和から一般項を求めるときもn=1を別に確認します。

\[ P(1),\quad P(k)\Rightarrow P(k+1)\Longrightarrow\forall n\ge1\ P(n) \]

5. 例題と解き方

例題1｜等差数列の一般項

初項2、公差1の等差数列の一般項と第5項を求めなさい。

初項から(n−1)回だけ公差を足します。添字のずれに注意します。

\[ \boxed{a_n=2+(n-1)1,\quad a_{5}=6} \]

例題2｜等差数列の和

初項2、公差1の等差数列の初めの5項の和を求めなさい。

和は項数×(初項+末項)/2。末項を先に求めて代入します。

\[ \boxed{20} \]

例題3｜等比数列の一般項

初項2、公比2の等比数列の一般項と第5項を求めなさい。

初項に公比の(n−1)乗を掛けます。

\[ \boxed{a_n=2\cdot 2^{n-1},\quad a_{5}=32} \]

例題4｜等比数列の和

初項2、公比2の等比数列の初めの5項の和を求めなさい。

公比r≠1でS=a(r^n−1)/(r−1)。ここではr=b+1なので分母はbです。

\[ \boxed{62} \]

例題5｜階差数列

\(a_1=2,\ a_{n+1}-a_n=1n\)の一般項を求めなさい。

a_n=a₁+Σ_{k=1}^{n−1}bk。和の上端はn−1です。n=1でも成立します。

\[ \boxed{a_n=2+\frac{1n(n-1)}2} \]

例題6｜シグマと平方和

\(\sum_{j=1}^{5}(2j^2+1)\)を求めなさい。

Σj²=n(n+1)(2n+1)/6、定数bの和はbnです。

\[ \boxed{115} \]

例題7｜分数数列の和

\(\sum_{j=1}^{5}\frac{2}{j(j+1)}\)を求めなさい。

1/(j(j+1))=1/j−1/(j+1)と分解すると途中の項が打ち消し合います。

\[ \boxed{\frac{5}{3}} \]

例題8｜群数列

正の整数を第1群1個、第2群2個、…と順に分けます。第2群の最初と最後の数を求めなさい。

前群までの個数はa(a−1)/2。次の整数が最初で、a群までの個数が最後の数です。

\[ \boxed{2,\quad 3} \]

例題9｜1次漸化式

\(a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1\)の一般項を求めなさい。

両辺にbを足すとa_{n+1}+b=2(a_n+b)。ずらした数列の初項はa+bです。

\[ \boxed{a_n=(3)2^{n-1}-1} \]

例題10｜2階漸化式：特性方程式

\(a_1=3,\ a_2=7,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\)の一般項を求めなさい。

特性方程式r²−5r+6=0の根は2,3。a_n=A2^(n−1)+B3^(n−1)に初期条件を代入するとA=a、B=bです。

\[ \boxed{a_n=2\cdot2^{n-1}+1\cdot3^{n-1}} \]

例題11｜数学的帰納法

\(\sum_{j=1}^n 2(2j-1)=2n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

n=1で両辺2。n=kで成立と仮定し、次の項2(2k+1)を足すと2k²+2(2k+1)=2(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\[ \boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}} \]

例題12｜和から一般項

数列の初項から第n項までの和が\(S_n=2n^2+1n\)です。一般項を求めなさい。

n≥2ではa_n=S_n−S_{n−1}。n=1はa₁=S₁を別に確かめると同じ式になります。

\[ \boxed{a_n=2(2n-1)+1\quad(n\ge1)} \]

例題13｜数列と応用

毎月末に2000円ずつ貯金します。利息はなく、初めの残高は1000円です。5か月後の残高と、月末残高の一般項を求めなさい。

初めをB₀と置くと、月が1増えるたびに一定額を足す等差的な変化です。

\[ \boxed{11000\text{円},\quad B_n=1000+2000n} \]

6. よくある間違いと解く順序

一般項のn−1、和の上端、公比1の例外、帰納法の初期段階を確認します。

条件と求めるものを整理し、使う公式を選び、計算後に元の条件を満たすか確かめます。証明では理由も書きます。

確認問題

例題を隠して解き、途中式と判断の理由を書きましょう。

問題1｜等差数列の一般項

初項8、公差4の等差数列の一般項と第5項を求めなさい。

問題2｜等比数列の和

初項2、公比6の等比数列の初めの5項の和を求めなさい。

問題3｜分数数列の和

\(\sum_{j=1}^{5}\frac{3}{j(j+1)}\)を求めなさい。

問題4｜2階漸化式：特性方程式

\(a_1=9,\ a_2=23,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\)の一般項を求めなさい。

問題5｜数列と応用

毎月末に5000円ずつ貯金します。利息はなく、初めの残高は5000円です。5か月後の残高と、月末残高の一般項を求めなさい。

解答・解説

解答1｜等差数列の一般項

初項から(n−1)回だけ公差を足します。添字のずれに注意します。

\[ \boxed{a_n=8+(n-1)4,\quad a_{5}=24} \]

解答2｜等比数列の和

公比r≠1でS=a(r^n−1)/(r−1)。ここではr=b+1なので分母はbです。

\[ \boxed{3110} \]

解答3｜分数数列の和

1/(j(j+1))=1/j−1/(j+1)と分解すると途中の項が打ち消し合います。

\[ \boxed{\frac{5}{2}} \]

解答4｜2階漸化式：特性方程式

特性方程式r²−5r+6=0の根は2,3。a_n=A2^(n−1)+B3^(n−1)に初期条件を代入するとA=a、B=bです。

\[ \boxed{a_n=4\cdot2^{n-1}+5\cdot3^{n-1}} \]

解答5｜数列と応用

初めをB₀と置くと、月が1増えるたびに一定額を足す等差的な変化です。

\[ \boxed{30000\text{円},\quad B_n=5000+5000n} \]

まとめ

数列では、条件を整理して計算や証明の方法を選びます。間違えた知識ポイントを本文で復習してから、対応するドリルを解き直しましょう。

第01回へ進む ／ 全単元の一覧