数学B｜数列ドリル第42回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

初項8、公比4の等比数列の初めの5項の和を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^{5}(8j^2+3)\)を求めなさい。

正の整数を第1群1個、第2群2個、…と順に分けます。第7群の最初と最後の数を求めなさい。

\(a_1=7,\ a_2=15,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\)の一般項を求めなさい。

数列の初項から第n項までの和が\(S_n=7n^2+2n\)です。一般項を求めなさい。

解答・解説

公比r≠1でS=a(r^n−1)/(r−1)。ここではr=b+1なので分母はbです。

\boxed{2728}

Σj²=n(n+1)(2n+1)/6、定数bの和はbnです。

\boxed{455}

前群までの個数はa(a−1)/2。次の整数が最初で、a群までの個数が最後の数です。

\boxed{22,\quad 28}

特性方程式r²−5r+6=0の根は2,3。a_n=A2^(n−1)+B3^(n−1)に初期条件を代入するとA=a、B=bです。

\boxed{a_n=6\cdot2^{n-1}+1\cdot3^{n-1}}

n≥2ではa_n=S_n−S_{n−1}。n=1はa₁=S₁を別に確かめると同じ式になります。

\boxed{a_n=7(2n-1)+2\quad(n\ge1)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____