数学B｜数列ドリル第38回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(a_1=5,\ a_2=11,\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\)の一般項を求めなさい。

数列の初項から第n項までの和が\(S_n=5n^2+2n\)です。一般項を求めなさい。

初項2、公差4の等差数列の一般項と第5項を求めなさい。

初項8、公比4の等比数列の一般項と第5項を求めなさい。

\(a_1=7,\ a_{n+1}-a_n=3n\)の一般項を求めなさい。

解答・解説

特性方程式r²−5r+6=0の根は2,3。a_n=A2^(n−1)+B3^(n−1)に初期条件を代入するとA=a、B=bです。

\boxed{a_n=4\cdot2^{n-1}+1\cdot3^{n-1}}

n≥2ではa_n=S_n−S_{n−1}。n=1はa₁=S₁を別に確かめると同じ式になります。

\boxed{a_n=5(2n-1)+2\quad(n\ge1)}

初項から(n−1)回だけ公差を足します。添字のずれに注意します。

\boxed{a_n=2+(n-1)4,\quad a_{5}=18}

初項に公比の(n−1)乗を掛けます。

\boxed{a_n=8\cdot 4^{n-1},\quad a_{5}=2048}

a_n=a₁+Σ_{k=1}^{n−1}bk。和の上端はn−1です。n=1でも成立します。

\boxed{a_n=7+\frac{3n(n-1)}2}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____