数学B｜数列ドリル第37回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(a_1=6,\ a_{n+1}-a_n=3n\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^{5}\frac{5}{j(j+1)}\)を求めなさい。

\(a_1=5,\ a_{n+1}=2a_n+2\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^n 5(2j-1)=5n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

毎月末に5000円ずつ貯金します。利息はなく、初めの残高は2000円です。5か月後の残高と、月末残高の一般項を求めなさい。

解答・解説

a_n=a₁+Σ_{k=1}^{n−1}bk。和の上端はn−1です。n=1でも成立します。

\boxed{a_n=6+\frac{3n(n-1)}2}

1/(j(j+1))=1/j−1/(j+1)と分解すると途中の項が打ち消し合います。

\boxed{\frac{25}{6}}

両辺にbを足すとa_{n+1}+b=2(a_n+b)。ずらした数列の初項はa+bです。

\boxed{a_n=(7)2^{n-1}-2}

n=1で両辺5。n=kで成立と仮定し、次の項5(2k+1)を足すと5k²+5(2k+1)=5(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}}

初めをB₀と置くと、月が1増えるたびに一定額を足す等差的な変化です。

\boxed{27000\text{円},\quad B_n=2000+5000n}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____