数学B｜数列ドリル第40回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(\sum_{j=1}^{5}\frac{6}{j(j+1)}\)を求めなさい。

\(a_1=6,\ a_{n+1}=2a_n+2\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^n 6(2j-1)=6n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

毎月末に6000円ずつ貯金します。利息はなく、初めの残高は2000円です。5か月後の残高と、月末残高の一般項を求めなさい。

初項2、公差4の等差数列の初めの5項の和を求めなさい。

解答・解説

1/(j(j+1))=1/j−1/(j+1)と分解すると途中の項が打ち消し合います。

\boxed{5}

両辺にbを足すとa_{n+1}+b=2(a_n+b)。ずらした数列の初項はa+bです。

\boxed{a_n=(8)2^{n-1}-2}

n=1で両辺6。n=kで成立と仮定し、次の項6(2k+1)を足すと6k²+6(2k+1)=6(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}}

初めをB₀と置くと、月が1増えるたびに一定額を足す等差的な変化です。

\boxed{32000\text{円},\quad B_n=2000+6000n}

和は項数×(初項+末項)/2。末項を先に求めて代入します。

\boxed{50}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____