数学B｜数列ドリル第47回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

初項4、公比5の等比数列の一般項と第5項を求めなさい。

\(a_1=3,\ a_{n+1}-a_n=4n\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^{5}\frac{2}{j(j+1)}\)を求めなさい。

\(a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+3\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^n 2(2j-1)=2n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

解答・解説

初項に公比の(n−1)乗を掛けます。

\boxed{a_n=4\cdot 5^{n-1},\quad a_{5}=2500}

a_n=a₁+Σ_{k=1}^{n−1}bk。和の上端はn−1です。n=1でも成立します。

\boxed{a_n=3+\frac{4n(n-1)}2}

1/(j(j+1))=1/j−1/(j+1)と分解すると途中の項が打ち消し合います。

\boxed{\frac{5}{3}}

両辺にbを足すとa_{n+1}+b=2(a_n+b)。ずらした数列の初項はa+bです。

\boxed{a_n=(5)2^{n-1}-3}

n=1で両辺2。n=kで成立と仮定し、次の項2(2k+1)を足すと2k²+2(2k+1)=2(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____