数学B｜数列ドリル第43回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(a_1=7,\ a_{n+1}=2a_n+2\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^n 7(2j-1)=7n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

毎月末に7000円ずつ貯金します。利息はなく、初めの残高は2000円です。5か月後の残高と、月末残高の一般項を求めなさい。

初項3、公差4の等差数列の初めの5項の和を求めなさい。

初項2、公比5の等比数列の初めの5項の和を求めなさい。

解答・解説

両辺にbを足すとa_{n+1}+b=2(a_n+b)。ずらした数列の初項はa+bです。

\boxed{a_n=(9)2^{n-1}-2}

n=1で両辺7。n=kで成立と仮定し、次の項7(2k+1)を足すと7k²+7(2k+1)=7(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}}

初めをB₀と置くと、月が1増えるたびに一定額を足す等差的な変化です。

\boxed{37000\text{円},\quad B_n=2000+7000n}

和は項数×(初項+末項)/2。末項を先に求めて代入します。

\boxed{55}

公比r≠1でS=a(r^n−1)/(r−1)。ここではr=b+1なので分母はbです。

\boxed{1562}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____