数学B｜数列ドリル第29回（定着練習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(\sum_{j=1}^{5}\frac{2}{j(j+1)}\)を求めなさい。

正の整数を第1群1個、第2群2個、…と順に分けます。第2群の最初と最後の数を求めなさい。

\(a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+2\)の一般項を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^n 2(2j-1)=2n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

数列の初項から第n項までの和が\(S_n=2n^2+2n\)です。一般項を求めなさい。

解答・解説

1/(j(j+1))=1/j−1/(j+1)と分解すると途中の項が打ち消し合います。

\boxed{\frac{5}{3}}

前群までの個数はa(a−1)/2。次の整数が最初で、a群までの個数が最後の数です。

\boxed{2,\quad 3}

両辺にbを足すとa_{n+1}+b=2(a_n+b)。ずらした数列の初項はa+bです。

\boxed{a_n=(4)2^{n-1}-2}

n=1で両辺2。n=kで成立と仮定し、次の項2(2k+1)を足すと2k²+2(2k+1)=2(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}}

n≥2ではa_n=S_n−S_{n−1}。n=1はa₁=S₁を別に確かめると同じ式になります。

\boxed{a_n=2(2n-1)+2\quad(n\ge1)}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____