数学B｜数列ドリル第33回（総合復習）

注意事項

各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。

\(\sum_{j=1}^n 3(2j-1)=3n^2\)を正の整数nについて帰納法で証明しなさい。

毎月末に3000円ずつ貯金します。利息はなく、初めの残高は2000円です。5か月後の残高と、月末残高の一般項を求めなさい。

初項6、公差3の等差数列の初めの5項の和を求めなさい。

初項5、公比4の等比数列の初めの5項の和を求めなさい。

\(\sum_{j=1}^{5}(5j^2+3)\)を求めなさい。

解答・解説

n=1で両辺3。n=kで成立と仮定し、次の項3(2k+1)を足すと3k²+3(2k+1)=3(k+1)²。よってn=k+1でも成立します。

\boxed{\text{初期段階と帰納段階を示す}}

初めをB₀と置くと、月が1増えるたびに一定額を足す等差的な変化です。

\boxed{17000\text{円},\quad B_n=2000+3000n}

和は項数×(初項+末項)/2。末項を先に求めて代入します。

\boxed{60}

公比r≠1でS=a(r^n−1)/(r−1)。ここではr=b+1なので分母はbです。

\boxed{1705}

Σj²=n(n+1)(2n+1)/6、定数bの和はbnです。

\boxed{290}

得点：____ / 50点　解き直す問題：____　次回までに確認する公式・条件：____