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二次不等式の証明 練習問題集

10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。

全20問

日付：＿＿年＿＿月＿＿日　名前：＿＿＿＿＿＿＿＿

問題

問1

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2+2>0 \]

問2

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ (x-3)^2\ge 0 \]

問3

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ (x+2)^2+5\ge 5 \]

問4

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2+4x+4\ge 0 \]

問5

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2-6x+10>0 \]

問6

次の空欄をうめなさい。

任意の実数 \(x\) について、\((x-2)^2\) は（　　　）以上である。

問7

次の空欄をうめなさい。

\\(x^2-4x+5\\) を平方完成すると、（　　　）である。

問8

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ 2x^2-8x+9\ge 1 \]

問9

第1問で、等号が成り立つ \(x\) の値を求めなさい。

問10

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ -x^2+2x-2<0 \]

問11

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ -2x^2-4x-5<0 \]

問12

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2+x+1>0 \]

問13

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ 3x^2-6x+5>0 \]

問14

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2-x+1>0 \]

問15

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2+5x+7>0 \]

問16

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ 2x^2+2x+1>0 \]

問17

判別式を用いて、任意の実数 \(x\) について次の不等式が成り立つ理由を説明しなさい。

\[ x^2+2x+5>0 \]

問18

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ 3x^2-3x+2>0 \]

問19

x>=3 のとき、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2-9\ge 0 \]

問20

0<=x<=2 のとき、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2\le 2x \]
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解答・解説

問1

任意の実数 \(x\) について、

\[ x^2\ge 0 \]

である。したがって、

\[ x^2+2\ge 2>0 \]

よって、

\[ x^2+2>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問2

\((x-3)^2\) は実数の平方である。

したがって、任意の実数 \(x\) について、

\[ (x-3)^2\ge 0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問3

平方は 0 以上なので、

\[ (x+2)^2\ge 0 \]

である。

両辺に 5 を加えると、

\[ (x+2)^2+5\ge 5 \]

が成り立つ。

元のドリル

問4

左辺は、

\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]

である。

平方は 0 以上なので、

\[ (x+2)^2\ge 0 \]

したがって、

\[ x^2+4x+4\ge 0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問5

平方完成する。

\[ x^2-6x+10=(x-3)^2+1 \]

ここで、

\[ (x-3)^2\ge 0 \]

なので、

\[ (x-3)^2+1\ge 1>0 \]

したがって、

\[ x^2-6x+10>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問6

0

元のドリル

問7

\((x-2)^2+1\)

元のドリル

問8

左辺から右辺を引く。

\[ 2x^2-8x+9-1=2x^2-8x+8 \]

平方完成する。

\[ 2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2 \]

ここで、

\[ (x-2)^2\ge 0 \]

であり、2>0 なので、

\[ 2(x-2)^2\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ 2x^2-8x+9\ge 1 \]

が成り立つ。

元のドリル

問9

等号は

\[ x-2=0 \]

のときに成り立つので、

\[ x=2 \]

元のドリル

問10

左辺を整理する。

\[ -x^2+2x-2=-(x^2-2x+2) \]

平方完成すると、

\[ x^2-2x+2=(x-1)^2+1 \]

したがって、

\[ -x^2+2x-2=-\{(x-1)^2+1\} \]

ここで、

\[ (x-1)^2+1>0 \]

なので、

\[ -\{(x-1)^2+1\}<0 \]

よって、

\[ -x^2+2x-2<0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問11

左辺を整理する。

\[ -2x^2-4x-5=-2(x^2+2x)-5 \]

平方完成する。

\[ -2x^2-4x-5=-2\{(x+1)^2-1\}-5 \]
\[ =-2(x+1)^2-3 \]

ここで、

\[ -2(x+1)^2\le 0 \]

なので、

\[ -2(x+1)^2-3\le -3<0 \]

である。

したがって、

\[ -2x^2-4x-5<0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問12

平方完成する。

\[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34 \]

ここで、

\[ \left(x+\frac12\right)^2\ge 0 \]

なので、

\[ \left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge \frac34>0 \]

である。

したがって、

\[ x^2+x+1>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問13

平方完成する。

\[ 3x^2-6x+5=3(x^2-2x)+5 \]
\[ =3\{(x-1)^2-1\}+5 \]
\[ =3(x-1)^2+2 \]

ここで、

\[ (x-1)^2\ge 0 \]

なので、

\[ 3(x-1)^2+2\ge 2>0 \]

である。

したがって、

\[ 3x^2-6x+5>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問14

平方完成する。

\[ x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34 \]

平方は 0 以上なので、

\[ \left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge \frac34>0 \]

したがって、

\[ x^2-x+1>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問15

平方完成する。

\[ x^2+5x+7=\left(x+\frac52\right)^2+\frac34 \]

よって、

\[ \left(x+\frac52\right)^2+\frac34\ge \frac34>0 \]

したがって、

\[ x^2+5x+7>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問16

平方完成する。

\[ 2x^2+2x+1=2\left(x+\frac12\right)^2+\frac12 \]

ここで、

\[ 2\left(x+\frac12\right)^2\ge 0 \]

なので、

\[ 2\left(x+\frac12\right)^2+\frac12\ge \frac12>0 \]

したがって、

\[ 2x^2+2x+1>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問17

二次式 \\(x^2+2x+5\\) の判別式は、

\[ D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=-16<0 \]

である。

また、先頭の係数は正である。

したがって、この二次式はすべての実数で正であり、

\[ x^2+2x+5>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問18

平方完成する。

\[ 3x^2-3x+2=3\left(x-\frac12\right)^2+\frac54 \]

平方は 0 以上なので、

\[ 3\left(x-\frac12\right)^2+\frac54\ge \frac54>0 \]

したがって、

\[ 3x^2-3x+2>0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問19

因数分解すると、

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]

条件 x>=3 より、

\[ x-3\ge 0,\quad x+3\ge 6>0 \]

である。

したがって、

\[ (x-3)(x+3)\ge 0 \]

よって、

\[ x^2-9\ge 0 \]

が成り立つ。

元のドリル

問20

右辺から左辺を引く。

\[ 2x-x^2=x(2-x) \]

条件 0<=x<=2 より、

\[ x\ge 0,\quad 2-x\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ x(2-x)\ge 0 \]

よって、

\[ x^2\le 2x \]

が成り立つ。

元のドリル

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