二次不等式の証明 | ドリル5（レベル2）
関連教材: 二次不等式の証明 | 教材（レベル2）
学習ポイント
- 判別式と平方完成をつなげて考える
- 常に正となる二次式を見分ける
第1問（30点）
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
x^2+x+1>0
\]
第2問（30点）
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
3x^2-6x+5>0
\]
解答
第1問
平方完成する。
\[
x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34
\]
ここで、
\[
\left(x+\frac12\right)^2\ge 0
\]
なので、
\[
\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\ge \frac34>0
\]
である。
したがって、
\[
x^2+x+1>0
\]
が成り立つ。
第2問
平方完成する。
\[
3x^2-6x+5=3(x^2-2x)+5
\]
\[
=3\{(x-1)^2-1\}+5
\]
\[
=3(x-1)^2+2
\]
ここで、
\[
(x-1)^2\ge 0
\]
なので、
\[
3(x-1)^2+2\ge 2>0
\]
である。
したがって、
\[
3x^2-6x+5>0
\]
が成り立つ。