二次不等式の証明 | ドリル4（レベル2）
関連教材: 二次不等式の証明 | 教材（レベル2）
学習ポイント
- 先頭の係数が負の二次式を扱う
- 正の形を作ってから符号を反転する
第1問（25点）
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
-x^2+2x-2<0
\]
第2問（25点）
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
-2x^2-4x-5<0
\]
解答
第1問
左辺を整理する。
\[
-x^2+2x-2=-(x^2-2x+2)
\]
平方完成すると、
\[
x^2-2x+2=(x-1)^2+1
\]
したがって、
\[
-x^2+2x-2=-\{(x-1)^2+1\}
\]
ここで、
\[
(x-1)^2+1>0
\]
なので、
\[
-\{(x-1)^2+1\}<0
\]
よって、
\[
-x^2+2x-2<0
\]
が成り立つ。
第2問
左辺を整理する。
\[
-2x^2-4x-5=-2(x^2+2x)-5
\]
平方完成する。
\[
-2x^2-4x-5=-2\{(x+1)^2-1\}-5
\]
\[
=-2(x+1)^2-3
\]
ここで、
\[
-2(x+1)^2\le 0
\]
なので、
\[
-2(x+1)^2-3\le -3<0
\]
である。
したがって、
\[
-2x^2-4x-5<0
\]
が成り立つ。