J 受験ヒーロー

円と内積の最大値 練習問題集

10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。

全20問

日付：＿＿年＿＿月＿＿日　名前：＿＿＿＿＿＿＿＿

問題

問1

\\(x^2+y^2=25\\) のとき、\(3x+4y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。

問2

\\(x^2+y^2=16\\) のとき、\(3x+4y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。

問3

\\(x^2+y^2=25\\) のとき、\(6x+8y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。

問4

\\(x^2+y^2=49\\) のとき、\(5x+12y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。

問5

\(r>0\)、\(a,b\) は同時には \(0\) でない実数とする。

\[ x^2+y^2=r^2 \]

のとき、\(ax+by\) の最大値と、そのときの \((x,y)\) を \(a,b,r\) を用いて表しなさい。

問6

次の空欄をうめなさい。

\(A\ge B\) を証明するには、（　　　）を示せばよい。

問7

次の空欄をうめなさい。

任意の実数 \(x\) について、\\(x^2\\) は（　　　）以上である。

問8

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2-4x+7\ge 3 \]

問9

第1問で、等号が成り立つ \(x\) の値を求めなさい。

問10

任意の実数 \(x\), \(y\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ x^2+y^2+2x-4y+6\ge 1 \]

問11

第1問で、等号が成り立つ \(x\), \(y\) の値を求めなさい。

問12

任意の実数 \(a\), \(b\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ a^2+b^2\ge 2ab \]

問13

第1問で、等号が成り立つ条件を答えなさい。

問14

任意の実数 \(x\) について、次の不等式を証明しなさい。

\[ 2x^2-8x+11\ge 3 \]

問15

任意の実数 \(a\), \(b\) について、次の不等式を証明し、等号成立条件を答えなさい。

\[ (a+b)^2\ge 4ab \]

問16

実数xについて\\(x^2-6x+12\ge 3\\)を示し、等号成立条件を求めなさい。

問17

実数xについて\\(x^2-8x+20\ge 4\\)を示し、等号成立条件を求めなさい。

問18

実数xについて\\(x^2-10x+30\ge 5\\)を示し、等号成立条件を求めなさい。

問19

実数xについて\\(x^2-12x+38\ge 2\\)を示し、等号成立条件を求めなさい。

問20

実数xについて\\(x^2-14x+52\ge 3\\)を示し、等号成立条件を求めなさい。

解答・解説を見る

解答・解説

問1

コーシー・シュワルツ不等式より、

\[ (3x+4y)^2\le(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25\cdot25=625 \]

だから \(3x+4y\le25\)。等号は \((x,y)\) が \((3,4)\) と同じ向きのときに成立する。

実際、\(3^2+4^2=25\) なので、

\[ 3x+4y=3\cdot3+4\cdot4=25 \]

である。よって、

\[ \boxed{\text{最大値 }25\quad(x=3,\ y=4)} \]

元のドリル

問2

\[ (3x+4y)^2\le(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25\cdot16=400 \]

より、\(3x+4y\le20\)。等号成立時は \((x,y)=k(3,4)\) と書ける。

条件から、

\[ 25k^2=16\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\frac45 \]

である。最大値をとるのは \(k=\frac45\) のときだから、

\[ x=\frac{12}{5},\qquad y=\frac{16}{5} \]

となる。このとき \(3x+4y=20\)。したがって、

\[ \boxed{\text{最大値 }20\quad\left(x=\frac{12}{5},\ y=\frac{16}{5}\right)} \]

元のドリル

問3

\[ (6x+8y)^2\le(6^2+8^2)(x^2+y^2)=100\cdot25=2500 \]

したがって、

\[ -50\le6x+8y\le50 \]

である。最大値は \(50\) 以下である。

等号成立時は \((x,y)=k(6,8)\)。条件から、

\[ 100k^2=25\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\frac12 \]

最大値をとるのは \(k=\frac12\) だから、\((x,y)=(3,4)\)。実際、

\[ 6\cdot3+8\cdot4=50 \]

よって、

\[ \boxed{\text{最大値 }50\quad(x=3,\ y=4)} \]

元のドリル

問4

\[ (5x+12y)^2\le(5^2+12^2)(x^2+y^2)=169\cdot49=8281 \]

より、\(5x+12y\le91\)。

等号成立時は \((x,y)=k(5,12)\) である。条件から

\[ 169k^2=49\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\frac7{13} \]

となる。最大値をとるのは正の \(k\) だから、

\[ x=\frac{35}{13},\qquad y=\frac{84}{13} \]

である。このとき \(5x+12y=91\)。したがって、

\[ \boxed{\text{最大値 }91\quad\left(x=\frac{35}{13},\ y=\frac{84}{13}\right)} \]

元のドリル

問5

コーシー・シュワルツ不等式より、

\[ (ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(a^2+b^2)r^2 \]

である。したがって、

\[ ax+by\le r\sqrt{a^2+b^2} \]

となる。

等号成立時には、\((x,y)\) が \((a,b)\) と同じ向きに平行である。よって、

\[ (x,y)=\frac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b) \]

とすれば条件を満たし、

\[ ax+by =\frac{r(a^2+b^2)}{\sqrt{a^2+b^2}} =r\sqrt{a^2+b^2} \]

となる。したがって、

\[ \boxed{\text{最大値 }r\sqrt{a^2+b^2}\quad \left((x,y)=\frac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)\right)} \]

元のドリル

問6

\(A-B\ge 0\)

元のドリル

問7

0

元のドリル

問8

左辺から右辺を引く。

\[ x^2-4x+7-3=x^2-4x+4=(x-2)^2 \]

ここで、

\[ (x-2)^2\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ x^2-4x+7\ge 3 \]

が成り立つ。

元のドリル

問9

等号は

\[ x-2=0 \]

のときに成り立つので、

\[ x=2 \]

元のドリル

問10

左辺から右辺を引く。

\[ x^2+y^2+2x-4y+6-1 =x^2+2x+y^2-4y+5 \]

平方の形に直す。

\[ x^2+2x+y^2-4y+5 =(x+1)^2+(y-2)^2 \]

ここで、

\[ (x+1)^2\ge 0,\quad (y-2)^2\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ (x+1)^2+(y-2)^2\ge 0 \]

なので、

\[ x^2+y^2+2x-4y+6\ge 1 \]

が成り立つ。

元のドリル

問11

等号は

\[ (x+1)^2+(y-2)^2=0 \]

のときに成り立つ。

平方の和が 0 になるには、それぞれが 0 であればよい。

\[ x+1=0,\quad y-2=0 \]

したがって、

\[ x=-1,\quad y=2 \]

元のドリル

問12

左辺から右辺を引く。

\[ a^2+b^2-2ab =a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2 \]

ここで、

\[ (a-b)^2\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ a^2+b^2\ge 2ab \]

が成り立つ。

元のドリル

問13

等号は

\[ a-b=0 \]

のときに成り立つ。

したがって、

\[ a=b \]

元のドリル

問14

左辺から右辺を引く。

\[ 2x^2-8x+11-3 =2x^2-8x+8 =2(x^2-4x+4) =2(x-2)^2 \]

ここで、

\[ (x-2)^2\ge 0 \]

なので、

\[ 2(x-2)^2\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ 2x^2-8x+11\ge 3 \]

が成り立つ。

等号は

\[ x=2 \]

のときに成り立つ。

元のドリル

問15

左辺から右辺を引く。

\[ (a+b)^2-4ab =a^2+2ab+b^2-4ab =a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2 \]

ここで、

\[ (a-b)^2\ge 0 \]

である。

したがって、

\[ (a+b)^2\ge 4ab \]

が成り立つ。

等号は

\[ a-b=0 \]

つまり

\[ a=b \]

のときに成り立つ。

元のドリル

問16

左辺−3=(x−3)²≥0なので成立します。平方が0になるx=3のときだけ等号です。

\[ \boxed{x=3\text{で等号成立}} \]

問17

左辺−4=(x−4)²≥0なので成立します。平方が0になるx=4のときだけ等号です。

\[ \boxed{x=4\text{で等号成立}} \]

問18

左辺−5=(x−5)²≥0なので成立します。平方が0になるx=5のときだけ等号です。

\[ \boxed{x=5\text{で等号成立}} \]

問19

左辺−2=(x−6)²≥0なので成立します。平方が0になるx=6のときだけ等号です。

\[ \boxed{x=6\text{で等号成立}} \]

問20

左辺−3=(x−7)²≥0なので成立します。平方が0になるx=7のときだけ等号です。

\[ \boxed{x=7\text{で等号成立}} \]

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