不等式の証明 | ドリル3（レベル1）
関連教材: 不等式の証明 | 教材（レベル1）
学習ポイント
- 2文字の式でも差をとる
- 平方の和は 0 以上であることを使う
第1問（25点）
任意の実数 x, y について、次の不等式を証明しなさい。
\[
x^2+y^2+2x-4y+6\ge 1
\]
第2問（25点）
第1問で、等号が成り立つ x, y の値を求めなさい。
解答
第1問
左辺から右辺を引く。
\[
x^2+y^2+2x-4y+6-1 =x^2+2x+y^2-4y+5
\]
平方の形に直す。
\[
x^2+2x+y^2-4y+5 =(x+1)^2+(y-2)^2
\]
ここで、
\[
(x+1)^2\ge 0,\quad (y-2)^2\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
(x+1)^2+(y-2)^2\ge 0
\]
なので、
\[
x^2+y^2+2x-4y+6\ge 1
\]
が成り立つ。
第2問
等号は
\[
(x+1)^2+(y-2)^2=0
\]
のときに成り立つ。
平方の和が 0 になるには、それぞれが 0 であればよい。
\[
x+1=0,\quad y-2=0
\]
したがって、
\[
x=-1,\quad y=2
\]