不等式の証明 | ドリル5（レベル1）
関連教材: 不等式の証明 | 教材（レベル1）
学習ポイント
- 文字をふくむ不等式を差で整理する
- 等号成立条件まで書く
第1問（30点）
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
2x^2-8x+11\ge 3
\]
第2問（30点）
任意の実数 a, b について、次の不等式を証明し、等号成立条件を答えなさい。
\[
(a+b)^2\ge 4ab
\]
解答
第1問
左辺から右辺を引く。
\[
2x^2-8x+11-3 =2x^2-8x+8 =2(x^2-4x+4) =2(x-2)^2
\]
ここで、
\[
(x-2)^2\ge 0
\]
なので、
\[
2(x-2)^2\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
2x^2-8x+11\ge 3
\]
が成り立つ。
等号は
\[
x=2
\]
のときに成り立つ。
第2問
左辺から右辺を引く。
\[
(a+b)^2-4ab =a^2+2ab+b^2-4ab =a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2
\]
ここで、
\[
(a-b)^2\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
(a+b)^2\ge 4ab
\]
が成り立つ。
等号は
\[
a-b=0
\]
つまり
\[
a=b
\]
のときに成り立つ。