係数を変えた円上の最大値 | ドリル
問題
\\(x^2+y^2=49\\) のとき、\(5x+12y\) の最大値と、そのときの \(x,y\) を求めなさい。
解答
\[
(5x+12y)^2\le(5^2+12^2)(x^2+y^2)=169\cdot49=8281
\]
より、\(5x+12y\le91\)。
等号成立時は \((x,y)=k(5,12)\) である。条件から
\[
169k^2=49\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\frac7{13}
\]
となる。最大値をとるのは正の \(k\) だから、
\[
x=\frac{35}{13},\qquad y=\frac{84}{13}
\]
である。このとき \(5x+12y=91\)。したがって、
\[
\boxed{\text{最大値 }91\quad\left(x=\frac{35}{13},\ y=\frac{84}{13}\right)}
\]