二次不等式の証明 | 教材（レベル4）
要約
条件付きの二次不等式では、平方完成だけでなく、因数分解して各因数の符号を調べる方法が有効である。区間条件から x-a>=0 や b-x>=0 を作り、積の符号を判断する。
関連ドリル:
1. 条件を使う証明
x>=2 のとき、次の不等式を証明する。
\[
x^2-4\ge 0
\]
左辺を因数分解する。
\[
x^2-4=(x-2)(x+2)
\]
条件 x>=2 より、
\[
x-2\ge 0
\]
また、
\[
x+2\ge 4>0
\]
である。
したがって、
\[
(x-2)(x+2)\ge 0
\]
となる。
よって、
\[
x^2-4\ge 0
\]
が成り立つ。
2. 区間条件の例
0<=x<=1 のとき、
\[
x^2\le x
\]
を証明する。
右辺から左辺を引く。
\[
x-x^2=x(1-x)
\]
条件 0<=x<=1 より、
\[
x\ge 0,\quad 1-x\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
x(1-x)\ge 0
\]
となる。
よって、
\[
x^2\le x
\]
が成り立つ。
3. よくあるまちがい
- 条件を使わずに、すべての実数で成り立つように証明しようとする
- 積の符号を調べるとき、一方の因数だけを見る
0<=x<=1から1-x>=0を作れない
4. 確認問題
1<=x<=3 のとき、次の不等式を証明しなさい。
\[
(x-1)(3-x)\ge 0
\]
5. 解答
条件 1<=x<=3 より、
\[
x-1\ge 0
\]
かつ、
\[
3-x\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
(x-1)(3-x)\ge 0
\]
が成り立つ。
6. まとめ
条件付きの二次不等式では、条件から正負が分かる因数を作る。平方完成と因数分解を使い分けると、証明の道筋が見えやすくなる。