二次不等式の証明 | 教材（レベル1）
要約
二次不等式の証明の出発点は、平方はいつでも 0 以上であるという事実である。まずは x^2>=0 や (x-a)^2>=0 を使って、簡単な二次式の不等式を証明する。
関連ドリル:
1. 基本
任意の実数 x について、
\[
x^2\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
x^2+3\ge 3
\]
が成り立つ。
また、
\[
x^2+3>0
\]
も成り立つ。なぜなら、
\[
x^2+3\ge 3>0
\]
だからである。
2. 平方の形を見つける
(x-2)^2 も平方なので、
\[
(x-2)^2\ge 0
\]
である。
よって、
\[
(x-2)^2+1>0
\]
が成り立つ。
展開すると、
\[
(x-2)^2+1=x^2-4x+5
\]
なので、
\[
x^2-4x+5>0
\]
が成り立つ。
3. よくあるまちがい
x^2は 0 以上だが、xは常に 0 以上とは限らない+3があるとき、>=3と>0の違いを混同する- 平方の形を展開しただけで、0 以上である説明を書かない
4. 確認問題
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
(x+1)^2+2>0
\]
5. 解答
平方は 0 以上なので、
\[
(x+1)^2\ge 0
\]
である。
したがって、
\[
(x+1)^2+2\ge 2>0
\]
となる。
よって、
\[
(x+1)^2+2>0
\]
が成り立つ。
6. まとめ
二次不等式の証明では、平方の形を見つけることが第一歩である。平方は 0 以上であるため、そこに正の数を足すと 0 より大きいことが分かる。