循環小数 | 教材（レベル2）
要約
循環小数とは、小数部分で同じ数字の並びがくり返される小数である。循環する部分を見つけ、10倍や100倍を使ってくり返し部分を消すと、分数に直せる。
関連ドリル:
1. 基本
同じ数字の並びがずっとくり返される小数を循環小数という。
\[
0.3333\cdots = 0.\overline{3}
\]
\[
0.121212\cdots = 0.\overline{12}
\]
上の線は、その部分がくり返されることを表す。
2. 大切なポイント
- くり返される数字の並びを循環節という
0.\overline{3}は3がくり返される0.\overline{12}は12がくり返される- 循環小数は分数で表せる
- くり返し部分をそろえて引き算すると、分数に直せる
3. 1けたがくり返される場合
次の循環小数を分数に直す。
\[
x=0.\overline{3}
\]
両辺を10倍する。
\[
10x=3.\overline{3}
\]
2つの式を引く。
\[
10x-x=3.\overline{3}-0.\overline{3}
\]
\[
9x=3
\]
\[
x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
\]
したがって、
\[
0.\overline{3}=\frac{1}{3}
\]
である。
4. 2けたがくり返される場合
次の循環小数を分数に直す。
\[
x=0.\overline{12}
\]
循環節が2けたなので、100倍する。
\[
100x=12.\overline{12}
\]
引き算する。
\[
100x-x=12.\overline{12}-0.\overline{12}
\]
\[
99x=12
\]
\[
x=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}
\]
したがって、
\[
0.\overline{12}=\frac{4}{33}
\]
である。
5. 循環しない部分がある場合
次の循環小数を分数に直す。
\[
x=0.1\overline{6}
\]
小数第1位の 1 は循環せず、そのあと 6 がくり返される。
\[
10x=1.\overline{6}
\]
\[
100x=16.\overline{6}
\]
くり返し部分がそろったので引く。
\[
100x-10x=16.\overline{6}-1.\overline{6}
\]
\[
90x=15
\]
\[
x=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}
\]
したがって、
\[
0.1\overline{6}=\frac{1}{6}
\]
である。
6. 分数を循環小数に直す
分数を小数に直すときは、分子を分母でわる。
\[
\frac{1}{3}=0.3333\cdots=0.\overline{3}
\]
\[
\frac{2}{11}=0.181818\cdots=0.\overline{18}
\]
割り切れない小数でも、同じ余りが出ると、そこから同じ数字の並びがくり返される。
7. よくある間違い
- 循環する部分を1けた多く、または少なく見る
0.\overline{12}を0.12と同じだと思う- 10倍すべきところを100倍していない
- 引き算で小数部分を消し忘れる
- 分数に直したあと約分を忘れる
8. 確認問題
次の循環小数を分数に直しなさい。
（1）
\[
0.\overline{5}
\]
（2）
\[
0.\overline{27}
\]
（3）
\[
0.2\overline{7}
\]
9. 解答
（1）
\[
0.\overline{5}=\frac{5}{9}
\]
（2）
\[
0.\overline{27}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}
\]
（3）
\[
0.2\overline{7}=\frac{27-2}{90}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}
\]
10. まとめ
循環小数は、くり返し部分をそろえて引き算すると分数に直せる。1けたがくり返されるなら10倍、2けたがくり返されるなら100倍を使い、最後に約分まで確認しよう。