分母有理化 | 教材（レベル5）
要約
レベル5では、分子にも式がある問題や、平方根どうしの和・差を含む問題を整理する。有理化したあとに展開、約分、平方根の整理まで行う。
関連ドリル:
1. 基本
分子が複雑でも、まず分母の形を見る。
\[
\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}
\]
分母の共役な式は \sqrt{3}+1 である。
\[
\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}
\]
\[
\frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}
\]
2. 平方根どうしの和・差
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}
\]
では、共役な式は \sqrt{5}-\sqrt{2} である。
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}
\]
3. 大切なポイント
- 分母の形を見て、同じ平方根か共役な式を選ぶ
- 有理化後に分子を展開する
- 分母が負になったら符号を整理する
- 約分と平方根の整理まで行う
4. よくある間違い
- 分子を展開し忘れる
(\sqrt{3}+1)^2を4としてしまう(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})を5+2にしてしまう- 最後の約分を忘れる
5. 確認問題
次の式を簡単にしなさい。
（1）
\[
\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}
\]
（2）
\[
\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}
\]
（3）
\[
\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
\]
6. 解答
（1）
\[
\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt{2}
\]
（2）
\[
\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}
\]
（3）
\[
\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}
\]
7. まとめ
複雑な有理化では、まず分母だけを見てかける式を決める。そのあと分子を展開し、符号・約分・平方根の整理を順に確認する。