分母有理化 | 教材（レベル4）
要約
レベル4では、分母が a+\sqrt{b} や a-\sqrt{b} のような和や差の形を扱う。共役な式をかけると、分母から平方根を消せる。
関連ドリル:
1. 基本
分母が和や差の形のときは、符号を反対にした共役な式をかける。
\[
(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b
\]
2. 例
\[
\frac{1}{2+\sqrt{3}}
\]
を有理化する。
\[
\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}
\]
3. 符号に注意する例
\[
\frac{1}{3-\sqrt{5}}
\]
では、共役な式は 3+\sqrt{5} である。
\[
\frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}
\]
4. 大切なポイント
a+\sqrt{b}にはa-\sqrt{b}をかけるa-\sqrt{b}にはa+\sqrt{b}をかける- 分母は
a^2-bになる - 分母が負になることもあるので符号を確認する
5. 確認問題
次の式の分母を有理化しなさい。
（1）
\[
\frac{1}{4+\sqrt{7}}
\]
（2）
\[
\frac{2}{5-\sqrt{3}}
\]
（3）
\[
\frac{3}{\sqrt{5}+1}
\]
6. 解答
（1）
\[
\frac{4-\sqrt{7}}{9}
\]
（2）
\[
\frac{2(5+\sqrt{3})}{22}=\frac{5+\sqrt{3}}{11}
\]
（3）
\[
\frac{3(\sqrt{5}-1)}{4}
\]
7. まとめ
分母が和や差の形なら、共役な式をかける。積の公式を使って、分母の平方根を消す。