2次方程式 | 教材（レベル3）
要約
2次方程式は、整理すると ax^2+bx+c=0 の形になる方程式である。因数分解できるときは積が0になる性質を使い、平方の形にできるときは平方根を使う。因数分解しにくいときは解の公式を使う。
関連ドリル:
1. 基本
次のように、2乗の項を含む方程式を2次方程式という。
\[
x^2-5x+6=0
\]
2次方程式は、まず右辺を0にして整理する。
\[
ax^2+bx+c=0
\]
この形にしてから、解き方を選ぶ。
2. 大切なポイント
- まず右辺を0にする
- 因数分解できるなら、因数分解して解く
x^2=aの形なら、平方根を使う- 因数分解しにくいときは解の公式を使う
- 解をもとの式に代入して確認する
3. 因数分解で解く
次の方程式を解く。
\[
x^2-5x+6=0
\]
左辺を因数分解する。
\[
(x-2)(x-3)=0
\]
積が0になるには、どちらかの因数が0である。
\[
x-2=0
\]
または
\[
x-3=0
\]
したがって、
\[
x=2,\ 3
\]
である。
4. 平方根を使って解く
次の方程式を解く。
\[
x^2=9
\]
2乗して9になる数は、3と-3である。
\[
x=\pm 3
\]
また、
\[
(x-2)^2=16
\]
なら、
\[
x-2=\pm 4
\]
なので、
\[
x=6,\ -2
\]
である。
5. 解の公式
2次方程式
\[
ax^2+bx+c=0
\]
の解は、
\[
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
で求められる。
たとえば、
\[
x^2+2x-1=0
\]
では、a=1, b=2, c=-1 なので、
\[
x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = -1\pm\sqrt{2}
\]
である。
6. よくある間違い
- 右辺を0にしないまま因数分解しようとする
(x-2)(x-3)=0からx=2だけを書いてしまうx^2=9の解をx=3だけにする- 解の公式で
-bの符号を間違える - 平方根の中や約分を整理し忘れる
7. 確認問題
次の2次方程式を解きなさい。
（1）
\[
x^2-7x+12=0
\]
（2）
\[
(x+1)^2=25
\]
（3）
\[
x^2+4x+1=0
\]
8. 解答
（1）
\[
(x-3)(x-4)=0
\]
\[
x=3,\ 4
\]
（2）
\[
x+1=\pm 5
\]
\[
x=4,\ -6
\]
（3）
\[
x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2} = \frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} = -2\pm\sqrt{3}
\]
9. まとめ
2次方程式は、右辺を0にしてから解法を選ぶ。因数分解、平方根、解の公式のどれを使うと楽かを見極めよう。