絶対値を含む不等式 | 教材（レベル4）
要約
絶対値は0からの距離を表す。|A|<b は A が -b と b の間にあることを表し、|A|>b は A が -b より小さいか、b より大きいことを表す。
関連ドリル:
1. 基本
絶対値は、数直線上で0からどれだけ離れているかを表す。
\[
|x|<3
\]
は、x が0から3より近い場所にあるという意味である。
\[
-3<x<3
\]
となる。
一方、
\[
|x|>3
\]
は、0から3より遠い場所にあるという意味である。
\[
x<-3,\quad 3<x
\]
となる。
2. 大切なポイント
|A|<bでb>0なら、-b<A<b|A|\le bでb>0なら、-b\le A\le b|A|>bでb>0なら、A<-bまたはb<A|A|\ge bでb>0なら、A\le -bまたはb\le A- 絶対値だけを残してから変形する
3. 小なり型の例
次の不等式を解く。
\[
|x-2|<5
\]
小なり型なので、間にはさむ。
\[
-5<x-2<5
\]
全体に2を足す。
\[
-3<x<7
\]
4. 大なり型の例
次の不等式を解く。
\[
|2x+1|\ge 7
\]
大なり型なので、外側に分ける。
\[
2x+1\le -7
\]
または
\[
7\le 2x+1
\]
それぞれ解く。
\[
x\le -4
\]
または
\[
3\le x
\]
5. 右辺が負の場合
絶対値は必ず0以上である。
\[
|A|\ge 0
\]
だから、
\[
|x+1|<-2
\]
は解なしである。
一方、
\[
|x+1|>-2
\]
はすべての実数で成り立つ。
6. よくある間違い
|A|<bをA<-bまたはb<Aとしてしまう|A|>bを-b<A<bとしてしまう\leと<を途中で入れ替える- 絶対値の外にある数を先に移項しない
- 右辺が負のときの判定を忘れる
7. 確認問題
次の不等式を解きなさい。
（1）
\[
|x+3|<4
\]
（2）
\[
|2x-1|\le 5
\]
（3）
\[
|x-2|>6
\]
8. 解答
（1）
\[
-4<x+3<4
\]
\[
-7<x<1
\]
（2）
\[
-5\le 2x-1\le 5
\]
\[
-2\le x\le 3
\]
（3）
\[
x-2<-6,\quad 6<x-2
\]
\[
x<-4,\quad 8<x
\]
9. まとめ
絶対値を含む不等式は、まず絶対値だけを残す。小なり型は間、大なり型は外側に分けて考える。