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距離として見る最小値 練習問題集

10問・15問・20問から選び、ノートや印刷した用紙で練習しましょう。

全20問

日付：＿＿年＿＿月＿＿日　名前：＿＿＿＿＿＿＿＿

問題

問1

\(P=(x,0)\)、\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\) とする。次の問いに答えなさい。

\(AP\)、\(PB\) を平方根を使って表しなさい。

問2

\(P=(x,0)\)、\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\) とする。次の問いに答えなさい。

\(A\) を \(x\) 軸に関して反転した点を \(A'\) とするとき、\(A'B\) の長さを求めなさい。

問3

\(P=(x,0)\)、\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\) とする。次の問いに答えなさい。

\(P\) を動かしたときの \(AP+PB\) の最小値を求めなさい。

問4

\(x\) は実数とする。次の式の最小値を求めなさい。点 \(A=(0,1)\) を \(x\) 軸に関して反転して考えること。

\[ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4} \]

問5

\(x\) は実数とする。次の式の最小値を求めなさい。

\[ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4} \]

問6

\(x\) は実数とする。次の式の最小値と、そのときの \(x\) の値を求めなさい。

\[ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4} \]

問7

\(x\) は実数とする。次の式の最小値と、そのときの \(x\) の値を求めなさい。

\[ \sqrt{x^2+9}+\sqrt{(6-x)^2+16} \]

問8

三角形の2辺の長さは3と6です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問9

三角形の2辺の長さは4と8です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問10

三角形の2辺の長さは5と10です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問11

三角形の2辺の長さは6と8です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問12

三角形の2辺の長さは7と10です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問13

三角形の2辺の長さは8と12です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問14

三角形の2辺の長さは9と14です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問15

三角形の2辺の長さは10と12です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問16

三角形の2辺の長さは11と14です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問17

三角形の2辺の長さは12と16です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問18

三角形の2辺の長さは13と18です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問19

三角形の2辺の長さは14と16です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

問20

三角形の2辺の長さは15と18です。3本目の辺xがとりうる範囲を求めなさい。

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解答・解説

問1

距離の公式より、

\[ AP=\sqrt{x^2+1},\qquad PB=\sqrt{(4-x)^2+4} \]

元のドリル

問2

\(A'=(0,-1)\) であるから、

\[ A'B=\sqrt{(4-0)^2+\{2-(-1)\}^2} =\sqrt{16+9}=5 \]

元のドリル

問3

\(P\) は \(x\) 軸上にあるので \(AP=A'P\)。三角不等式より、

\[ AP+PB=A'P+PB\ge A'B=5 \]

したがって、最小値は

\[ \boxed{5} \]

である。

元のドリル

問4

\(P=(x,0)\)、\(B=(4,2)\) とおくと、式は \(AP+PB\) と表せる。ただし、

\[ A=(0,1),\qquad AP=\sqrt{x^2+1},\qquad PB=\sqrt{(4-x)^2+4} \]

である。

\(A\) を反転した点は \(A'=(0,-1)\)。\(P\) は \(x\) 軸上にあるので \(AP=A'P\) である。よって三角不等式より、

\[ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4} =A'P+PB\ge A'B \]

となる。

\[ A'B=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]

だから、最小値は

\[ \boxed{5} \]

である。\(A'\)、\(P\)、\(B\) が一直線上に並ぶ位置で等号が成立する。

元のドリル

問5

\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\)、\(P=(x,0)\) とおくと、

\[ AP=\sqrt{x^2+1},\qquad PB=\sqrt{(4-x)^2+4} \]

である。\(A\) を \(x\) 軸に関して反転した点を \(A'=(0,-1)\) とすると、\(AP=A'P\)。したがって、

\[ AP+PB=A'P+PB\ge A'B \]

である。

\[ A'B=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5 \]

よって、最小値は

\[ \boxed{5} \]

である。

元のドリル

問6

\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\)、\(P=(x,0)\) とおく。\(A\) を反転した \(A'=(0,-1)\) を使うと、

\[ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4}=A'P+PB\ge A'B \]

である。

\[ A'B=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]

だから最小値は \(5\)。等号は \(A'\)、\(P\)、\(B\) が一直線上に並ぶときに成立する。

直線 \(A'B\) の方程式は

\[ y+1=\frac34x \]

である。\(P\) は \(y=0\) 上にあるので、

\[ 1=\frac34x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac43 \]

となる。したがって、

\[ \boxed{\text{最小値 }5\quad\left(x=\frac43\right)} \]

元のドリル

問7

\(P=(x,0)\)、\(A=(0,3)\)、\(B=(6,4)\) とおく。\(A\) を \(x\) 軸に関して反転した点は \(A'=(0,-3)\) である。

よって、式は \(A'P+PB\) と表せるから、三角不等式より

\[ A'P+PB\ge A'B \]

である。反転後の2点間の距離は、

\[ A'B=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85} \]

となる。したがって最小値は \(\sqrt{85}\)。

等号成立時、\(P\) は直線 \(A'B\) と \(x\) 軸の交点である。直線の方程式は

\[ y+3=\frac76x \]

だから、\(y=0\) とすると

\[ 3=\frac76x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18}{7} \]

である。答えは

\[ \boxed{\text{最小値 }\sqrt{85}\quad\left(x=\frac{18}{7}\right)} \]

元のドリル

問8

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は3、和は9。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{3<x<9} \]

問9

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は4、和は12。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{4<x<12} \]

問10

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は5、和は15。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{5<x<15} \]

問11

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は2、和は14。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{2<x<14} \]

問12

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は3、和は17。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{3<x<17} \]

問13

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は4、和は20。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{4<x<20} \]

問14

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は5、和は23。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{5<x<23} \]

問15

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は2、和は22。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{2<x<22} \]

問16

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は3、和は25。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{3<x<25} \]

問17

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は4、和は28。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{4<x<28} \]

問18

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は5、和は31。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{5<x<31} \]

問19

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は2、和は30。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{2<x<30} \]

問20

三角形の成立条件は2辺の差<x<2辺の和です。差は3、和は33。等号では三角形になりません。

\[ \boxed{3<x<33} \]

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