反転を利用した最小値 | ドリル
問題
\(x\) は実数とする。次の式の最小値を求めなさい。点 \(A=(0,1)\) を \(x\) 軸に関して反転して考えること。
\[
\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4}
\]
解答
\(P=(x,0)\)、\(B=(4,2)\) とおくと、式は \(AP+PB\) と表せる。ただし、
\[
A=(0,1),\qquad AP=\sqrt{x^2+1},\qquad PB=\sqrt{(4-x)^2+4}
\]
である。
\(A\) を反転した点は \(A'=(0,-1)\)。\(P\) は \(x\) 軸上にあるので \(AP=A'P\) である。よって三角不等式より、
\[
\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4} =A'P+PB\ge A'B
\]
となる。
\[
A'B=\sqrt{4^2+3^2}=5
\]
だから、最小値は
\[
\boxed{5}
\]
である。\(A'\)、\(P\)、\(B\) が一直線上に並ぶ位置で等号が成立する。