図形を利用した最小値問題 | ドリル
問題
\(x\) は実数とする。次の式の最小値を求めなさい。
\[
\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4}
\]
解答
\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\)、\(P=(x,0)\) とおくと、
\[
AP=\sqrt{x^2+1},\qquad PB=\sqrt{(4-x)^2+4}
\]
である。\(A\) を \(x\) 軸に関して反転した点を \(A'=(0,-1)\) とすると、\(AP=A'P\)。したがって、
\[
AP+PB=A'P+PB\ge A'B
\]
である。
\[
A'B=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5
\]
よって、最小値は
\[
\boxed{5}
\]
である。