一般化した最短距離問題 | ドリル

問題

\(x\) は実数とする。次の式の最小値と、そのときの \(x\) の値を求めなさい。

\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(6-x)^2+16}

解答

\(P=(x,0)\)、\(A=(0,3)\)、\(B=(6,4)\) とおく。\(A\) を \(x\) 軸に関して反転した点は \(A'=(0,-3)\) である。

よって、式は \(A'P+PB\) と表せるから、三角不等式より

A'P+PB\ge A'B

である。反転後の2点間の距離は、

A'B=\sqrt{6^2+7^2}=\sqrt{85}

となる。したがって最小値は \(\sqrt{85}\)。

等号成立時、\(P\) は直線 \(A'B\) と \(x\) 軸の交点である。直線の方程式は

y+3=\frac76x

だから、\(y=0\) とすると

3=\frac76x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18}{7}

である。答えは

\boxed{\text{最小値 }\sqrt{85}\quad\left(x=\frac{18}{7}\right)}