図形を利用した最小値と等号条件 | ドリル

問題

\(x\) は実数とする。次の式の最小値と、そのときの \(x\) の値を求めなさい。

\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4}

解答

\(A=(0,1)\)、\(B=(4,2)\)、\(P=(x,0)\) とおく。\(A\) を反転した \(A'=(0,-1)\) を使うと、

\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+4}=A'P+PB\ge A'B

である。

A'B=\sqrt{4^2+3^2}=5

だから最小値は \(5\)。等号は \(A'\)、\(P\)、\(B\) が一直線上に並ぶときに成立する。

直線 \(A'B\) の方程式は

y+1=\frac34x

である。\(P\) は \(y=0\) 上にあるので、

1=\frac34x\quad\Longrightarrow\quad x=\frac43

となる。したがって、

\boxed{\text{最小値 }5\quad\left(x=\frac43\right)}