二次不等式の証明 | 教材（レベル3）
要約
係数が分数になる二次式や、判別式を使う二次不等式を扱う。平方完成で最小値を読み取り、必要に応じて判別式 D<0 とつなげて説明する。
関連ドリル:
1. 分数係数の平方完成
次の不等式を証明する。
\[
x^2-x+1>0
\]
平方完成すると、
\[
x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34
\]
ここで、
\[
\left(x-\frac12\right)^2\ge 0
\]
なので、
\[
\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge \frac34>0
\]
である。
よって、
\[
x^2-x+1>0
\]
が成り立つ。
2. 判別式とのつながり
二次式
\[
ax^2+bx+c
\]
で a>0 かつ判別式 D=b^2-4ac<0 のとき、この二次式は常に正である。
ただし、証明としては平方完成で
\[
ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
\]
と書くと根拠がはっきりする。
a>0 かつ D<0 なら、
\[
4ac-b^2>0
\]
なので、右辺は正になる。
3. よくあるまちがい
- 分数の平方完成で定数を間違える
D<0だけを書いて、a>0を確認しないD=0のときは>0ではなく>=0になることを忘れる
4. 確認問題
任意の実数 x について、次の不等式を証明しなさい。
\[
x^2+3x+3>0
\]
5. 解答
平方完成する。
\[
x^2+3x+3=\left(x+\frac32\right)^2+\frac34
\]
ここで、
\[
\left(x+\frac32\right)^2\ge 0
\]
なので、
\[
\left(x+\frac32\right)^2+\frac34\ge \frac34>0
\]
である。
したがって、
\[
x^2+3x+3>0
\]
が成り立つ。
6. まとめ
分数係数が出る平方完成では、頂点の位置と残る定数を丁寧に計算する。判別式を使う場合も、最後は平方完成の形で正になる理由を説明できるようにする。