数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第41回（総合復習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜ユークリッドの互除法
18と8の最大公約数を、互除法で求めなさい。
問題2｜1次不定方程式
\(2x+3y=11\)の整数解をすべて求めなさい。
問題3｜記数法：位取り
\((128)_9\)を10進法で表しなさい。
問題4｜整数の性質の証明
任意の整数nで\(n(n+1)+16\)が偶数であることを証明しなさい。
問題5｜ゲームと不変量
石が26個あります。1回の操作で3個取り除きます。最後に0個にできるか、3で割った余りを使って判断しなさい。
解答・解説
解答1｜ユークリッドの互除法
18=2×8+2、8=4×2+0。最後の0でない余りは2です。
\[
\boxed{2}
\]
解答2｜1次不定方程式
隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。
\[
\boxed{x=4+3t,\quad y=1-2t\quad(t\in\mathbb Z)}
\]
解答3｜記数法：位取り
9²+2×9+8と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。
\[
\boxed{107}
\]
解答4｜整数の性質の証明
連続する2整数の一方は偶数なので積は偶数。加える2aも偶数で、和も偶数です。
\[
\boxed{\text{偶数}}
\]
解答5｜ゲームと不変量
3個ずつ減らしても3で割った余りは変わりません。最初の余りは2で、これが0のときに限り0個まで減らせます。
\[
\boxed{\text{できない}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____