数学A｜数学と人間の活動（整数の性質） ドリル第14回（定着練習）
注意事項
各問10点（答え4点・途中式または根拠6点）。答えだけでなく理由を書きましょう。解答に示す式と同値の表現も正解です。図形は文中の配置に従って補助図を描いてください。【発展】は行列の学習を深めたい人向けです。
問題
問題1｜1次不定方程式
\(4x+5y=13\)の整数解をすべて求めなさい。
問題2｜記数法：2進法
10進数34を2進法で表しなさい。
問題3｜記数法：位取り
\((113)_9\)を10進法で表しなさい。
問題4｜合同式と余り
\((3x+1)\)でxを3で割った余りが1です。この式を3で割った余りを求めなさい。
問題5｜整数の性質の証明
任意の整数nで\(n(n+1)+6\)が偶数であることを証明しなさい。
解答・解説
解答1｜1次不定方程式
隣り合う係数は互いに素です。特解を引くとa(x−x₀)=−(a+1)(y−y₀)になり、双方の倍数条件から一般解を得ます。
\[
\boxed{x=2+5t,\quad y=1-4t\quad(t\in\mathbb Z)}
\]
解答2｜記数法：2進法
2で繰り返し割った余りを逆順に並べます。各桁が2の累乗を表すことでも確認できます。
\[
\boxed{(100010)_2}
\]
解答3｜記数法：位取り
9²+1×9+3と展開します。各桁は0〜8なので9進法の数字として有効です。
\[
\boxed{93}
\]
解答4｜合同式と余り
xは法c+2で1と合同。代入したa+bをもう一度割って余りを0以上の範囲に直します。
\[
\boxed{1}
\]
解答5｜整数の性質の証明
連続する2整数の一方は偶数なので積は偶数。加える2aも偶数で、和も偶数です。
\[
\boxed{\text{偶数}}
\]
復習記録
得点：____ / 50点 解き直す問題：____ 次回までに確認する公式・条件：____