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東京大学 前期・文科 数学記述模試 第031回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学II（全範囲）／数学A（全範囲）／数学B（数列・統計的な推測）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

時間・配点・範囲は2027年度の公式選抜要項を確認しています（確認日：2026-10-03）。大問数と記述形式は公開試験（2026年度）を参考にした演習設計です。小問配点は本模試の採点基準です。

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問題

第1問　三次方程式の実数解の個数（20点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-243x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（6点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（6点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（8点）

第2問　放物線の接線と囲まれた面積（20点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-81)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（6点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（6点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（8点）

第3問　抽出方法と条件付き確率（20点）

袋に赤玉 \(9\) 個、青玉 \(18\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（6点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（6点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（8点）

第4問　逆数で線形化し差を足す（20点）

\[ a_1=1/9,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（6点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（6点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-9)(x+9)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-9\) で極大、\(x=9\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }1458,\quad\text{極小値 }-1458} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-1458<a<1458} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=1458\) では \(f(x)-a=(x-18)(x+9)^2\)。\(a=-1458\) では \(f(x)-a=(x+18)(x-9)^2\)。

\[ \boxed{a=1458:x=-9,18;\quad a=-1458:x=-18,9} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第2問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=81\)。

\[ \boxed{y=18x-81,\quad y=-18x-81} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm9,81)\)。底辺の長さは \(18\)、Pから底辺までの高さは \(162\)。

\[ \boxed{1458} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-9)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{9}(x-9)^2\,dx\)。

\[ \boxed{486} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第3問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((9-1)/(27-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{4}{39}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{18(18-1)}{27(27-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{2}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(9-1)<45-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{2}{11}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第4問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+8}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{9}-\frac1{n+9}=\frac{n}{9(n+9)}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に3点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+9}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。